一類基于分級聚類的可解釋性模糊建模方法的研究(三)

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二次聚類
使用模糊C均值聚類算法進一步處理由一次聚類產(chǎn)生的聚類中心，因為這些聚類中心是由相應(yīng)的密度指標(biāo)所決定，所以在最后的模糊分區(qū)劃分時應(yīng)考慮到相應(yīng)樣本的密度指標(biāo)的不同，為解決這個問題，使用加權(quán)模糊C均值聚類算法處理由一次聚類產(chǎn)生的聚類中心，相應(yīng)的加權(quán)模糊C均值的目標(biāo)函數(shù)為：
                  (9)
其中為最終的聚類數(shù)，為分區(qū)矩陣，是最后的聚類中心矢量，為模糊加權(quán)指數(shù)，是與初始聚類中心相關(guān)的加權(quán)量，由下式表示：
                          (10)
聚類的準(zhǔn)則為取的極小值且約束條件為，最后所求的聚類中心和相應(yīng)的隸屬度函數(shù)可用下式表示：
                (11)
      (12)
高斯型隸屬函數(shù)的方差可以通過計算模糊協(xié)方差矩陣來獲得：
                    (13)
                                         (14)
一旦確定了模糊模型前件的參數(shù)，即可利用最小二乘法估計模糊模型的后件參數(shù)。
加權(quán)FCM算法：
Step1：選擇聚類數(shù)，加權(quán)指數(shù)，和聚類中心的初始值。
Step2：使用公式(12)計算隸屬度函數(shù)值。
Step3：利用公式(11)計算更新聚類中心的值。
Step4：如果，則停止，否則轉(zhuǎn)到Step2。
模糊規(guī)則數(shù)目的確定，即在模糊聚類中確定聚類的數(shù)目，是模糊建模的一個首要問題。聚類有效性分析就是尋找最優(yōu)的聚類數(shù)目，文獻[30]提出的緊密/分離性函數(shù)（XB：Xie-Beni index）利用了隸屬函數(shù)信息和數(shù)據(jù)本身的信息，本文使用加權(quán)緊密/分離性函數(shù)，其最小值對應(yīng)最優(yōu)的聚類數(shù)目，對模糊指數(shù)m的魯棒性強，融合了數(shù)據(jù)的幾何結(jié)構(gòu)信息：
         (15)
模糊集合的相似性融合
經(jīng)過兩級聚類算法和最小二乘估計得到的初始模糊模型，其隸屬函數(shù)（模糊集合）可能存在冗余，表現(xiàn)為模糊集合間存在過度的交叉或重疊，從而難以賦予相應(yīng)的語義值，降低了模型的可解釋性，因此需要對每個變量的隸屬函數(shù)進行相似性分析和融合．
模糊模型的隸屬函數(shù)存在三種類型的冗余：第一種是兩個隸屬函數(shù)相似，這是最常見的模糊集合冗余形式；第二種是隸屬函數(shù)以較大值覆蓋整個論域；第三種是隸屬函數(shù)接近于單點集合。
第三種的隸屬函數(shù)冗余，由于其不存在可解釋的實際意義，一般在對應(yīng)的規(guī)則前件中直接去除即可。對于第二種的隸屬函數(shù)冗余，在去除該規(guī)則后，建模誤差在允許范圍內(nèi)，則為了提高可解釋性，可將該規(guī)則刪除，實現(xiàn)規(guī)則約簡，否則保留該規(guī)則。
第一種冗余，本文采用相似性測度來評判兩個隸屬函數(shù)的相似性。對模糊集合A和B，其相似性測度定義如下[34]：

其中表示集合的基數(shù)，和算子分別表示集合的交和并。
對于離散論域X={xk | k=1, …, N}，式（22）表述如下：

其中和分別為最小最大算子。S為定義在[0,1]間的相似性測度，S=1表示兩個集合完全相等，而S=0意味著兩個集合沒有交叉或重疊．
如果兩個模糊集合A和B的相似性測度大于預(yù)先設(shè)定的閾值，那么集合A和B可以融合為新的集合C．對于不同形式的隸屬函數(shù)，確定集合C的具體方法不同，但其共同遵循的原則是集合C的支集是集合A與B的并集，集合C的核是集合A與B核的加減聚合．如對于梯形隸屬函數(shù)A(a1,a2,a3,a4)和B(b1,b2,b3,b4)，融合生成的新的模糊集合為C(c1,c2,c3,c4)：c1=min(a1,b1)，c2=0.5(a2+b2)，c3=0.5(a3+b3)，c4=max(a4+b4) ．
對于本文所采用的高斯型隸屬函數(shù)，由集合A和B融合生成的新集合C的參數(shù)如下：

閾值的大小直接影響模糊模型的性能，閾值越小，得到的模型的精度越低而可解釋性越高，一般閾值取[0.4 – 0.7]，具體可根據(jù)實際系統(tǒng)的要求選擇。
模糊集合融合過程需要反復(fù)迭代進行．在每一次迭代過程中，對每一個變量的所有模糊集合進行兩兩相似性分析，相似性測度大于閾值的兩個模糊集合融合為新的集合．迭代反復(fù)進行，直到?jīng)]有任何兩個模糊集合的形似性測度大于閾值，然后再將第二類和第三類模糊集合刪除，從而完成整個模糊集合的相似性融合過程。
模糊模型的整體優(yōu)化
初始模糊模型集合相似性融合，提高了模型的可解釋性，但同時降低了模型的精確性，因此采用梯度下降優(yōu)化算法，提高模型的精度，為保持模型的可解釋性，對梯度下降優(yōu)化算法施加搜索空間約束。前件參數(shù)的變化范圍為，以保證隸屬函數(shù)的可區(qū)分性，后件參數(shù)變化范圍為，以保證模型的局部可解釋性不變。在優(yōu)化過程中，當(dāng)模型的參數(shù)大于其最大值（或小于其最小值）時，則將該參數(shù)強迫限定為其最大值（或最小值）．參數(shù)變化范圍的確定，根據(jù)經(jīng)驗，一般取4-15％之間。

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