有限總體方差的模型無偏估計(一)

有限總體方差的模型無偏估計
摘要：本文借助于超總體模型，通過對有限總體方差的一個比率型估計量進(jìn)行修正而獲得了一個總體方差的模型無偏估計。我們也討論了通常的比率型估計量的線性函數(shù)之模型無偏性。

關(guān)鍵詞：方差估計，輔助信息，比率型估計，模型無偏估計
引言
 在抽樣理論中，總體方差的估計是一個重要問題。一般地，在簡單隨機(jī)抽樣下，我們常常用樣本方差來估計總體方差。然而，這沒有利用輔助信息。注意到在實際的抽樣調(diào)查中，我們通常會有輔助信息可以加以利用。因此如何利用輔助信息以提高總體方差的估計效率是值得研究的。眾所周知，對于總體均值的估計問題，通過構(gòu)造比率型估計量可大大提高估計的精度（參見Cochran (1977), 馮士雍、施錫銓(1996), 孫山澤 (2004)）。基于同樣的思想，Isaki (1983) 也對總體方差的估計問題提出了如下的比率型估計：
                                          ，
其中  和  表示樣本方差， 表示總體方差（顯然，上式隱含了。這對實際中幾乎所有的總體都是滿足的）。后來，Prasad 和 Singh (1990) 考慮了形如 的改進(jìn)估計（這里  是一個常數(shù)）。然而，不象總體均值的比率型估計量，這些估計量通常都不是模型無偏的（關(guān)于模型無偏的定義可參見Cochran 1977）。本文的主要目的就是對Isaki (1983) 的比率型方差估計                                          進(jìn)行修正，使之成為關(guān)于模型的無偏估計。另一方面，我們也將研究形如 （此處 和  均為常數(shù)。這顯然包含了Prasad 和 Singh (1990) 的估計量）的估計量的模型無偏性。

2．主要結(jié)果
 以下我們假定大小為  的有限總體  是來自下面的超總體模型的一個隨機(jī)樣本：
 
                                            （1）

其中 ， 和  是未知的參數(shù)， 是一個已知的常數(shù)，一般取值在0與2之間（參見Cochran 1977）， 是相互獨立的隨機(jī)誤差，而  表示關(guān)于超總體模型取數(shù)學(xué)期望。這個模型在抽樣理論中是最基本的模型，在文獻(xiàn)中已被廣泛采用， 如見Cassel  等 (1977), Cochran (1977)，Rao (2003) 等。進(jìn)一步，我們假定  是用任意的抽樣方案抽取的一個大小為  的樣本。
 為了估計總體方差 ，我們修正Isaki (1983) 的比率型方差估計量  而提出如下的方差估計量：
 
                    （2）

可以證明
定理1  在超總體模型（1）下，估計量  是總體方差  的模型無偏估計。

證明：見附錄。

由模型無偏的方差估計  的表達(dá)式（2）可得如下的有趣性質(zhì)：記
 ，.
則當(dāng)抽取的輔助變量  滿足  時，Isaki (1983) 的比率型方差估計量  與我們的修正估計量  一致，從而是模型無偏的。

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