有限總體方差的模型無偏估計(二)

        下面我們考慮形如 （此處 和  均為常數）的估計量的模型無偏性。我們有下述結論：

定理2  估計量  是總體方差  的模型無偏估計的充要條件是 ，，以及 .

證明： 由附錄的（A.1）式和（A.2）式可知， 的充要條件是下式對任何  和  都成立：
                                             （3）
顯然，當 ，，以及  時，（3）式成立，故充分性成立。  現證必要性。在（3）式中令 以及 可知 。將此代入（3）式然后令可得 。最后將 ， 代入（3）式即得 
.  定理證畢。

由定理2可以看出，當  時， 是估計類
  和  是常數
中唯一的模型無偏估計。因此如果我們采用目的抽樣使得 ，則 將是一個好的估計量。

3．模擬計算
上節我們構造了總體方差  的模型無偏估計。一個需要考慮的問題是糾偏后的估計其方差是否會增加？也就是說，得與失的綜合效果會怎樣？在本節中我們通過模擬計算來比較比率型方差估計量  和我們所提出的模型無偏的方差估計量  的均方誤差（MSE）。

我們假定誤差  服從正態分布，并取 . 我們使用  分布來產生輔助變量  的值（這種方法在文獻中經常被使用， 如見Durbin (1959) 和Wu (1982)），然后在給定的 和  值下由模型（1）產生 .  由此即得總體的值。從中隨機抽取 個。這樣，利用  可得 ，利用（2）式可得 .  重復 次，再使用下面的公式計算均方誤差：
 ， .
計算結果見表1。從表1可以看出，本文所提出的方差估計量較比率型方差估計量 具有更小的 均方誤差，因此綜合效果更好。

4．討論
本文給出了總體方差的一個模型無偏估計，模擬結果顯示，該估計較之通常的比率型方差估計量也具有較小的均方誤差。我們也研究了通常的比率型估計量的線性函數之模型無偏性并獲得了充要條件。我們提出的估計量 （見（2）式）其表達式看起來有些復雜，但利用計算機進行計算并不會引起麻煩，因此我們希望本文的結果能對實際的抽樣調查工作者有所幫助。

由附錄的（A.1）和（A.2）式知，通常的方差估計量  也不是模型無偏的，但在簡單隨機抽樣下卻是模型-設計無偏的。顯然，我們的估計量  在任何抽樣方案下都是模型-設計無偏的。

在實際的抽樣調查中，常常會有缺失數據，因此考慮缺失數據情形下與本文相應的問題也是有趣的（缺失數據的處理方法可參見Rao (1996)， 金勇進(1996)），這有待于我們今后進一步的研究。

致謝：作者衷心感謝審稿專家的寶貴修改意見。

參考文獻

 [1] Cochran, W.G. (1977). Sampling Techniques. 3rd ed., New York: John Wiley & Sons.
 [2] 馮士雍、施錫銓(1996): 抽樣調查的理論、方法與實踐，上海：上海科學技術出版社。
[3]  孫山澤(2004)：抽樣調查，北京：北京大學出版社.
 [4]  Isaki, C.T. (1983). Variance estimation using auxiliary information.  Journal of the
 American Statistical Association 78: 117-123.
 [5] Prasad, B. and Singh, H.P. (1990). Some improved ratio-type estimators of finite population variance in sample surveys.  Communications in Statistics: Theory and Methods 19: 1127-1139.
 [6]  Cassel, C. M., , C. E. and Wretman, J. H. (1977).  Foundations of Inference in Survey Sampling. New York:  John Wiley & Sons.
 [7]  Durbin, J. (1959). A note on the application of Quenouille's method of bias reduction to the estimation of ratios. Biometrika 46: 477-480.
 [8] Wu, C. F. J. (1982). Estimation of variance of the ratio estimator. Biometrika 69:  183-189.
 [9] Rao, J.N.K. (1996).  On variance estimation with imputed survey data. Journal of the American Statistical Association 91: 499-506.
[10] 金勇進(1996): 非抽樣誤差分析，北京：中國統計出版社.

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