微積分的地位與《數(shù)學分析》學習

微積分的地位與《數(shù)學分析》學習
 近幾十年來，以計算機技術(shù)和宇航技術(shù)為先導的新技術(shù)革命的興起和發(fā)展，促進了新的產(chǎn)業(yè)體系的形成，促進人類進入了信息社會、知識經(jīng)濟時代，使人類社會生產(chǎn)力得到巨大發(fā)展。
 我們知道：數(shù)學的強大生命力在于對社會進步的貢獻，這種貢獻表現(xiàn)為以下四方面：1、數(shù)學為其他學科提供語言、概念、思想、理論和方法，推進和提高整個科學技術(shù)（特別是高科技）水平；2、直接應(yīng)用于工程技術(shù)、生產(chǎn)活動、經(jīng)濟管理，推動經(jīng)濟的發(fā)展；3、作為高等教育和基礎(chǔ)教育的一門重要學科，對科技、工程技術(shù)人才，乃至經(jīng)濟管理人才的培養(yǎng)起著決定性的作用；4、是作為一種文化，對全體人民的科學思維和文化素質(zhì)起著潛移默化的作用。①
 正是出于提請美國政府和社會對于發(fā)展數(shù)學科學的重視，美國國家研究委員會自1984年以來兩次提出了關(guān)于發(fā)展數(shù)學科學和數(shù)學教育的四份報告。②這些報告指出：我們所謂的高科技時代，就是“信息時代”！“計算機對數(shù)學的影響大大地拓廣了數(shù)學模擬工作者的活動舞臺，他們現(xiàn)在已經(jīng)能夠通過計算機可靠地模擬非常復雜的物理現(xiàn)象。計算機在科學和工程技術(shù)的所有部門都有廣泛的應(yīng)用，所以它在一些關(guān)鍵技術(shù)--如微電子線路的制造和對流體流動規(guī)律的認識的發(fā)展方面起著重大的作用。針對特定的技術(shù)去開發(fā)適當?shù)哪�擬，常常牽涉到一些高深的科學知識和數(shù)學工具，數(shù)學的作用在于表示這種模擬型并對它進行計算�！眻蟾嬲f，“對所有學生進行優(yōu)質(zhì)的數(shù)學教育是興旺發(fā)達的經(jīng)濟所必需的 。因為數(shù)學是科學和技術(shù)的基礎(chǔ)，所以它是機遇和職業(yè)的關(guān)鍵”！這些報告特別指出：未來社會最好的工作和崗位，屬于準備好了處理數(shù)學問題的人，而“數(shù)學上的 文盲既是個人的損失，又是國家的債務(wù)”！
 在我們這個“高技術(shù)”時代，任何一個國家的實力都取決于其高技術(shù)發(fā)展的程度，取決于其科學技術(shù)發(fā)展的程度，取決于教育事業(yè)發(fā)展的程度。在我國，其中尤為重要者，則是應(yīng)該大力發(fā)展數(shù)學科學，使我國成為一個“二十一世紀的數(shù)學強國”，為此，我們務(wù)必建立一個與新時代的“高科技”的需求相適應(yīng)的數(shù)學學習體系。在數(shù)學學習中，微積分的學習有著其獨特的作用。十七世紀，由費爾馬等開始，經(jīng)過了差不多一個世紀的醞釀，最后由牛頓、萊布尼茲創(chuàng)建了微積分理論，并很快顯示出其非凡的作用。它不僅是數(shù)學史上的 一個分水嶺，而且是整個人類文明史的一件大事。正如恩格斯所指出，在一切理論成就中，未必有什么其它的發(fā)明像微積分那樣，被看作是人類精神的最后勝利了。其后，經(jīng)過兩百余年的不斷完善，由柯西、維爾斯特拉斯最后奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。微積分理論是基于工業(yè)革命發(fā)展生產(chǎn)技術(shù)的需要而產(chǎn)生，它的廣泛應(yīng)用又反過來深刻、驚人地影響生產(chǎn)技術(shù)和理論科學的發(fā)展，是工業(yè)文明的最具有特殊意義的、最有代表性的產(chǎn)物。在現(xiàn)代，它的應(yīng)用范圍與日俱增�？梢院敛豢鋸埖卣f，沒有微積分知識，任何一門科學幾乎都不能發(fā)展。
 微積分理論是幾乎所有高等數(shù)學的必備基礎(chǔ)，“它是數(shù)學方法上一個有力的、精美的范例，不但引出數(shù)學的主要應(yīng)用，還引出主要理論。微積分語言已經(jīng)滲透到所有科學領(lǐng)域，她所傳授的對于變化本質(zhì)的洞察力是有教養(yǎng)的人所不可缺少的�！闭�如美國國家委員（方企勤等譯）《人人關(guān)心數(shù)學教育的未來》中所強調(diào)指出的“成功的微積分教學對于數(shù)學與科學的健康發(fā)展是至關(guān)重要的 》”這種狀況說明，現(xiàn)代信息文明對學習微積分理論的《數(shù)學分析》提出了更新更高的需求。
 作為高等學校的《數(shù)學分析》課程，已經(jīng)形成一套較為完整、相對固定的理論體系。但對我們遠程學習的學生來說是以自學為主，只能以書本上的“公理、定義、例題、習題”為載體將有關(guān)知識以定論方式、記憶方式獲得知識。這種傳統(tǒng)的方式，束縛了的思維和獨創(chuàng)性的發(fā)展，有礙于數(shù)學建模的能力、自學能力、解決問題的能力的培養(yǎng)。這與現(xiàn)代的信息文明的高速發(fā)展的要求是格格不入的。在這種激烈沖突中，充分利用數(shù)學方法論的知識進行學習《數(shù)學分析》尤為重要。
 數(shù)學的學習過程是學生在教師的指導下通過數(shù)學思維活動，學習數(shù)學知識發(fā)展數(shù)學思維的過程。在這個過程中，學習數(shù)學的過程與數(shù)學的發(fā)現(xiàn)過程是同步的，數(shù)學思維結(jié)構(gòu)的形成發(fā)展與數(shù)學的思維結(jié)構(gòu)相似、接近的。但是，我的學習是網(wǎng)絡(luò)學習，與教師面對面的時間有限，在一定程度上數(shù)學思維的發(fā)展是有局限的，所以充分利用數(shù)學方法論的知識尤為重要�！皵�(shù)學方法論著眼于數(shù)學活動過程中數(shù)學概念的形成，數(shù)學思維的產(chǎn)生，數(shù)學方法的運用，著眼于數(shù)學問題解決的提出、探索和解決，這就充分揭示數(shù)學思維過程，培養(yǎng)分析問題解決問題的能力。”因此，在學習過程中應(yīng)該重視數(shù)學思想方法的運用，從而更好地培養(yǎng)自己的能力，提高學習效率。
 （1`）結(jié)合辯證法，使變換思想和極限思想貫穿整個《數(shù)學分析》的學習。
 我們知道，形成微積分理論的主要思想是變換思想和極限思想。為了真正認識微積分理論的實質(zhì)，我們應(yīng)該結(jié)合辯證法，使變換思想和極限思想貫穿于整個學習過程中。
 在數(shù)學史上，常量數(shù)學向變量數(shù)學的轉(zhuǎn)換是一個偉大的轉(zhuǎn)折，起指導作用的數(shù)學思想就是反映常量與變量的對立統(tǒng)一關(guān)系的變換（映射、函數(shù)）思想。
 例如：求             之和.這是一個數(shù)學競賽題,如果用一般方法來解決是較難的,

我把這個求和問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)s(x)=             在x=1/2時的值,即是把這個靜態(tài)求值問題,

轉(zhuǎn)化為動態(tài)函數(shù)問題,從而使問題得到解決.由于當x≠1時有                         
對此式求導再乘以x,然后再求導再乘以x,就得到              

s(x)=             =

于是有:s(1/2)=6-(n2-4n+6)/2n,極限思想雖然源于古代,但它的確立、完善及其巨大作用的顯示，與微積分理論的建立和發(fā)展密不可分的，也是微積分理論的基本思想。極限思想是在有限與無限、離散與連續(xù)的對立統(tǒng)一中體現(xiàn)了量變到質(zhì)變的辯證關(guān)系。
 2、抓住主要的數(shù)學方法，例如抽象分析法、數(shù)學模型發(fā)、RMI方法、化歸法等等.對于多元函數(shù)積分學中的Green公式、Gauss公式以及Stokes公式等積分公式這一難點運用有關(guān)的數(shù)學方法，如抽象分析發(fā)、RMI方法等，則將會收到較好的效果。下面看微積分學基本定理。
 定理1（Newton--Leibniz公式）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若F(x)是f(x)在 [a,b]上的一個原函數(shù)，則
 從數(shù)學方法論的角度來看，定理1的思想實質(zhì)是：利用這個公式，把含有目標原象的數(shù)學關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S—-定積分問題，由所得到的可定映映射ØN-1（我們把由公式(N-L)所給出的映射，記為ØN-1下同），把S映入映象關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)S’——不定積分問題，使其在此映射下的目標映象為
                                                        
再通過不定積分的有關(guān)方法，即通過定映手續(xù)ψ求出這個不定積分，再利用Newton--Leibniz公式。即反演映射Ø-1N-1計算出F(b)-F(a),從而使問題得到解決。運用這種方法解決定積分的計算問題的過程，用下面的框圖表示。這個定理將定積分問題化歸為求原函數(shù)問題。溝通了微積分學與積分學這兩個重要數(shù)學領(lǐng)域，奠定了微積分學的基礎(chǔ)。再從下面的：                                                  
 定理2（Green公式）若函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有其中L為區(qū)域D的邊界曲線，且取正向。
 定理3（Gauss）公式）設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面∑圍城。若函數(shù)Q(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上連續(xù)，且有一階偏導數(shù)，則有
其中，∑取外側(cè).
    定理4（Stokes公式）設(shè)光滑曲面∑的邊界L是按段光滑的連續(xù)曲面，若函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z)在∑（連同L）上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有
 
其中，∑的側(cè)面與L的方向由右手法則確定。
   可以看出，Green公式給出了閉區(qū)域D上的函數(shù)的二重積分與D的邊界曲線L上的二型積分之間的可定映映射φGral溝通了它們之間的聯(lián)系。同樣的，φGra是溝通空間閉區(qū)域V上的三重積分與V的邊界曲面∑的第二型曲面積分之間聯(lián)系的可定映映射，而φ,則是溝通光滑曲面∑上的第二曲面面積分與∑的邊界曲線L的第二型曲線積分之間的聯(lián)系的可定映映射。如果我們把F(x)在點a的函數(shù)值F(a)也看成它在0維區(qū)域：點a上的積分的話，上述四個定理則有著其顯著的共同點——它們都分別給出了在某個閉區(qū)域上的一個函數(shù)的積分與具有該函數(shù)的“原函數(shù)”性質(zhì)的另一個函數(shù)在該區(qū)域邊界上的積分的關(guān)系，從而溝通了這兩類積分問題。我們還可以用更高的觀點得到更為一般的定理：
 定理5（一般形式的Stokes公式）設(shè)△是Rn空間中的k+1維閉區(qū)域（k為自然數(shù)，0≤k＜n＝,α△是△的邊界，是的k維閉區(qū)域，則有其中ω，表示Rn中的k次微分形式，dω是ω的外微分。
 這個定理非常簡潔地把上面四個定理統(tǒng)一起來，并推廣到Rn空間，它還揭示了外微分運算與積分之間的“抵消作用”。在現(xiàn)代數(shù)學意義之下它可以稱為Rn空間的“微積分學基本定理”。從數(shù)學方法論的角度來看，它給出了高維區(qū)域上的積分與低一維區(qū)域上的積分之間的可定映映射φs。因此，在進行有關(guān)的多元積分學知識的學習時，我們可以事先從復習New-ton-Leibniz公式著手，用上述觀點逐步認識Green公式,Gauss公式以及Stokes公式的實質(zhì)，并統(tǒng)一地加以分析、證明和應(yīng)用。
 參考文獻：
 ①王梓坤，今日數(shù)學及其應(yīng)用，數(shù)學通報，1994年7期，第15頁
 ②呂瑞芳，《多媒體程序設(shè)計》，《金華教育》2004年第4期，第28頁