海涅定理及其推廣和應(yīng)用

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 海涅定理及其推廣和應(yīng)用

 本文敘述了海涅定理的兩種形式，揭示了變量變化的整體與部分的聯(lián)系，在某種條件下，數(shù)列極限和函數(shù)極限可以相互轉(zhuǎn)換．并對海涅定理進(jìn)行了推廣，給出了海涅定理條件減弱之后的等價命題，作出了新的證明．相應(yīng)地海涅定理可表示為更強(qiáng)的形式，從而對論證某些函數(shù)極限的存在性會更方便，處理函數(shù)極限問題時更加方便實用，本文還說明了海涅定理在具體問題中的應(yīng)用。
 一、引言
   在極限理論中,有一個重要的定理—海涅定理,它深刻地揭示了變量變化的整體與部分,連續(xù)與離散之間的聯(lián)系,從而給數(shù)列極限與函數(shù)極限之間架起了一座可以相互溝通的“橋梁”.在某種條件下,數(shù)列極限與函數(shù)極限可以相互轉(zhuǎn)換.根據(jù)海涅定理的必要性,可將函數(shù)極限化為函數(shù)值數(shù)列的極限,根據(jù)海涅定理的充分性,又能將數(shù)列極限的性質(zhì)轉(zhuǎn)移到函數(shù)極限上來.在極限理論和運用中,占有非常重要的地位.
    不同的教科書對海涅定理的敘述有所差異,本文敘述了海涅定理的兩種形式,通過分析定理1的含義指出了變量離散變化與連續(xù)變化之間的內(nèi)在聯(lián)系,即變量變化的整體與部分,連續(xù)與離散之間的聯(lián)系，從而成為將數(shù)列極限問題與函數(shù)極限問題相互溝通,相互轉(zhuǎn)化的“橋梁”,這是海涅定理在函數(shù)極限理論中起著極為重要的原因之一,通過分析定理2,我們知道海涅定理的這兩種形式從根本上說是相同的,但大同中有小異:前一種表述明確地指出了極限值是A,后者沒有.因而這兩種表述各具特色:前者具體,后者抽象,更有概括性.