一些中學(xué)不等式解法的思考

全文字?jǐn)?shù):3282

一些中學(xué)不等式解法的思考

[摘要] 不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)、也是中考、高考的熱點(diǎn)之一，學(xué)生對(duì)這類題目常常難以駕馭。因此，有必要研究其思維的策略。
 

 [關(guān)鍵詞] 不等式  定義域  參數(shù)
 
 
 不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的地位，學(xué)生在解不等式的有關(guān)問題時(shí)，往往在理解知識(shí)、掌握技能和方法方面存在一些問題，下面就一些不等式的解法進(jìn)行思考。
 一、關(guān)于含參數(shù)不等式解法的思考。
 1、先考慮定義域再變形
 例1、已知a>0，a≠1,解不等式loga(4＋3x－x2)－loga(2x-1)> loga2
 (1990年全國文科試題)
 
 解：不等式的定義域是
 
 原不等式可變形為loga(4＋3x－x2) > loga2 (2x-1)
 
 當(dāng)a>1時(shí)，不等式等價(jià)于
 
 
 解之得解集為｛x/　<x<2｝
 
 當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式等價(jià)于
 
 解之，得解集為｛x/2<x<4｝
 ∴當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集是｛x/　　<x<2｝
 
 當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集是｛x/2<x<4｝
 此題如先變形成loga             > loga2，再考慮定義域，則當(dāng)a>1，0<a<1時(shí)，分別得等價(jià)組
 
                            
 （I）                               （II）
                           
 
 其中（I）的解集是｛x/ 　<x<2或x<-3｝
               
 （II）的解集是{x/2<x<4或－3<x<－1}，
 這是錯(cuò)誤的，原因是把未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大了，由              >0 不僅得出：
      4+3x－x2＞0                  4+3x－x2＜0
 ；  還能得出：               ，而后者是不適合的。
         2x－1＞0                     2x－1＜0
 2、掌握依據(jù)、恰當(dāng)分類
 解參數(shù)不等式的關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。掌握分類的依據(jù)，可使解題有章可循，有法可依。
 例2、解不等式56x2＋ax－a2<0　(初等數(shù)學(xué)研究的282頁例題)
 分析：△＝a2－4×56×(－a2)=225a2≧0,方程56x2＋ax－a2＝0有兩實(shí)根：
 －和，其兩根大小不確定，故應(yīng)分a>0，a<0，a=0三種情況分類討論得解，即：
 (1)若a>0，則不等式的解集為{x/－<x<}
 (1)若a<0，則不等式的解集為{ x / <x<－  }
 (1)若a=0，則不等式無解。
 如果問題含有兩個(gè)或兩個(gè)以上參數(shù)時(shí)，須根據(jù)討論標(biāo)準(zhǔn)逐層分類討論。
 例３、解關(guān)于x的不等式ax >k·3x (a >0,且a≠1)
 分析：化不等式為(  )x　>k，顯然有(  )x　>0，對(duì)應(yīng)k，a的不同范圍依次進(jìn)行討論。
 (１)若k≤0時(shí)，解為一切實(shí)數(shù)。
 (２)若k＞0時(shí)，若a＞3時(shí)，解為x＞log  k
 
 若0＜a＜3時(shí)，解為x＜log  k，若a＝3時(shí)，原式化為１x >k
 
 當(dāng)0＜k＜１時(shí)，解為一切實(shí)數(shù)。　
 當(dāng)k≥1時(shí)，解為空集。
 3、優(yōu)化程序，減少討論的層次。
 優(yōu)化解題程序或方法，常常可減少討論層次，使解題化繁為簡。
 例４、解關(guān)于x的不等式：＞3－logax   
分析：如果先對(duì)無理不等式討論得到logax的范圍，再對(duì)a進(jìn)行討論，過程較繁瑣，而改變操作方法，往往可減少討論的層次，使解題簡潔明快。
 解：化原不等式為（　　　　 ＋２）（　　　　　－1），很明顯          +2＞０，由
          －1＞０得logax＞2，故：
  (1)a＞1時(shí)，解為x＞a2
 (2)0＜a＜1時(shí)，解為0＜x＜a2
 例５、解關(guān)于x的不等式          ＞x＋a
分析：本題若用純代數(shù)方法分類討論，頭緒較多，難免掛一漏萬，而以數(shù)形結(jié)合解之，則層次分明，直觀易懂。
 解：令y1＝　　　　　，知y1≥０，則y１２           ＝4x－x2　　y１２＋(x－2)２＝4
 因?yàn)閥１≥０所以y１２＋(x－2)２＝4表示的圖象是以半徑為２，
 圓心在點(diǎn)(２，０)上的上半圓（如圖所示），令y２＝x＋a，則y２
 表示斜率為１的任一直線（如圖），直線過原點(diǎn)時(shí)，知a＝０，當(dāng)
 直線和上半圓相切時(shí)則有y１=y２且直線y２中的參數(shù)a>0,
 即：          =x＋a，經(jīng)整理變形為：2x2+（2a－4）x+a2=0
 ∵直線和上半圓相切，故判別式△=0