淺談集合論的發展及反思

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 淺談集合論的發展及反思
[摘 要]對集合論發展的歷史進行了論述與分析，闡述了康托爾在集合論創立過程中的思維歷程和科學思想，展現了從集合概念到樸素集合論和公理化集合論的發展歷程，評述了康托爾的歷史功績。對集合論的創立進行了反思，任何一門數學理論的誕生和發展都不是一蹴而就的，都需要數學家卓絕的智慧和堅忍不拔的毅力。
[關鍵詞] 集合論 反思 康托爾。
 一、集合概念的創立
 發展的畢業升入高一級學校的同學們會一致發現自己所學的第一個數學概念都是：集合。這門研究集合的數學理論在現代數學中被恰當地稱為集合論。它是數學的一個基本分支，在數學中占據著一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數學的所有領域。集合論是德國著名數學家康托爾于19世紀末創立的。十七世紀數學中出現了一門新的分支：微積分。在之后的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發展并結出了豐碩成果。其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎。十九世紀初，許多迫切問題得到解決后，出現了一場重建數學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日，以紀念康托爾的不朽功績。
 二、樸素集合論的創立
    數學與無窮有著不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱。因為這一原因，在數學發展的歷程中，數學家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，并盡可能回避這一概念。但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路。他把無窮集這一詞匯引入數學，從而進入了一片未開墾的處女地，開辟出一個奇妙無比的新世界。對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數學上的潘多拉盒子。
 在此以前數學家們只是把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋。無限永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。這種關于無窮的觀念在數學上被稱為潛無限。十八世紀數學王子高斯就持這種觀點。用他的話說，就是“……我反對將無窮量作為一個實體，這在數學中是從來不允許的。所謂無窮，只是一種說話的方式……”而當康托爾把全體自然數看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數學上稱為實無限思想。由于潛無限思想在微積分的基礎重建中已經獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數學家的批評與攻擊是無足為怪的。然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續正面探討無窮。他在實無限觀念基礎上進一步得出一系列結論，創立了令人振奮的、意義十分深遠的理論。這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界。
最能顯示出他獨創性的是他對無窮集元素個數問題的研究。他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數。他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數相同，用他自己的概念是等勢。由于一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應――例如同學們很容易發現自然數集與正偶數集之間存在著一一對應關系――也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數。這與傳統觀念“全體大于部分”相矛盾。而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征。在此意義上，自然數集與正偶數集具有了相同的個數，他將其稱為可數集。又可容易地證明有理數集與自然數集等勢，因而有理數集也是可數集。后來當他又證明了代數數集合也是可數集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數集。但出乎意料的是，他在1873年證明了實數集的勢大于自然數集。這不但意味著無理數遠遠多于有理數，而且顯然龐大的