對二元復合函數及其性質的探討

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 對二元復合函數的探討
 [摘要]本文對二元復合函數加以分類，并對其極限，連續，可微，可積等性質進行探討。
[關鍵詞]二元復合函數   極限    連續   可微   可積
 復合函數貫穿于微積分的始終，其導數和積分在微積分中占有相當重要的地位。二元復合函數是復合函數的一種，將一元復合函數的概念類推至二元復合函數，可得許多類似于一元復合函數的結論，同時在現實生活中也確實存在著許多變量間相互依存的“鏈式關系”，因此無論從理論或者實踐的角度看，研究二元復合函數及其性質都是非常必要的。
 一、二元復合函數的概念及分類
 1.復合函數的概念：設函數                
而                          
且
則是以為內函數，為外函數的復合函數。
 2.分類
本文主要針對復合結果為二元函數的復合函數進行分類
 （1）外函數為一元函數，內函數為二元函數，
  （2）外函數為二元函數，
a：中間變量均為一元函數，即內函數均為一元函數.

b：中間變量均為二元函數，即內函數均為二元函數

c：中間變量既有一元又有二元函數，
 
 （3）外函數為n（n大于等于3）元函數，內函數為分別含有不同自變量的一元函數或至少有一個二元函數。
 
 二、二元復合函數的性質
 1．極限 
 1．1一般情形
 （1）中間變量均為一元函數的情形
定理1  如果函數，當時，極限存在且為a，當時極限存在且為b而函數在點處連續，則復合函數，當時，極限存在等于
證明：對在點處連續,
 ∴,
 
，