從集合論的觀點看中學數(shù)學中的概念和問題

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從集合論的觀點看中學數(shù)學中的概念和問題
【摘 要】：集合論是中學數(shù)學，乃至整個數(shù)學的理論基礎(chǔ)．其他數(shù)學概念，諸如整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、幾何圖形、函數(shù)、代數(shù)、運算、微積分等，都可以用集合論的理論、方法和語言加以表述。
【關(guān)鍵詞】：集合論的理論與方法   表述 中學代數(shù) 幾何
 19世紀70年代Cantor創(chuàng)立的集合論，雖然在上世紀末已被數(shù)學家廣泛接受，并用它作為構(gòu)筑整個數(shù)學大廈的基礎(chǔ)，但是它本身卻是用說明的方式建立的，未被嚴格理論化，因此被后人稱為“樸素”的集合論．盡管如此，在我們中學數(shù)學教科書或一般高等數(shù)學(非數(shù)學基礎(chǔ)學科)書中所講、所用的集合論知識，正是這種樸素的集合論．
  從集合論的觀點來看，中學代數(shù)主要研究數(shù)集的擴張、運算和變換．解方程(或不等式)f(x)= 0(≥0)，就是要求得與由命題形式給出的集合｛x|f(x)=0(≥0)｝相等的具體數(shù)集(指明它的元素是哪些數(shù))．解n元方程組，則是要求得笛卡兒積Rn的一個具體子集，使等于由命題給出的集合．
中學幾何，則主要研究作為平面和空間點集的幾何圖形．幾何圖形的性質(zhì)，可以歸結(jié)為相應點集之間關(guān)系的研究．幾何圖形的運動和變換，可以從相應集合的運算來考察．通過建立坐標系，把解方程與求曲線交點這兩類問題對應起來，溝通了點集與有序數(shù)組之間的聯(lián)系，把點集與數(shù)(對)集統(tǒng)一起來．
不少數(shù)學證明題可以歸結(jié)為：由前提和結(jié)論所確定的兩個集合相等或包含關(guān)系的判定．集合論為求解和證明數(shù)學題提供了簡明的表達方式．
下面舉出若干實例來說明這一點．
Ⅰ．關(guān)于幾何圖形
中學平面幾何和立體幾何中一些基本幾何圖形，如線段、圓、球等，都是作為一個整體圖形來看的．從它們傳統(tǒng)的定義中，很難明確指出它們的各個部分究竟是什么，以致一些中學生分不清線段AB和它的長度|AB| ，圓與圓周，球和球面等．如果用集合論的方法和語言來表述這些圖形，把它們看作是滿足某些條件的點的集合．就會弄清楚這些圖形究竟包括哪些點．
 以O點為圓心、以r 為半徑的圓，是集合
⊙(O，r)＝ ｛P｜｜ OP｜≤r｝
而這個圓的圓周是集合｛P｜｜OP｜=r｝．
這樣，就把圓和圓周這兩個概念嚴格區(qū)分開來了．
線段AB，可表示為點集
AB＝｛M||AM＋|MB|=|AB|｝
角∠AOB，可視為由從點O出發(fā)的兩條射線OA、OB，以及平面被它們劃分開的兩部分之一的所有點構(gòu)成的集合．圖2—2(a)與(b)中的兩個角，雖然它們的頂點和邊相同，但卻是完全不同的角．

Ⅱ．關(guān)于幾何題的證明
幾何中性質(zhì)命題“若A，則B”，可理解為“具有性質(zhì)A的某(些)幾何元素，是具有性質(zhì)B的幾何元素”．
 如果令幾何元素(點、直線、圖形)x的集合
A=｛x|A(x)｝，B=｛x|B(x)｝

下面我們用這種觀點來說明幾何證明中“同一法”的理論依據(jù)．
對于性質(zhì)命題“若A，則B”，如果集合A=｛x| A(x)｝是單元素集，即具有性質(zhì)A的幾何元素只有一個，就說該命題符合“同一法則”．符合同一法則的幾何命題，可以用同一法給以間接證明，其證明的步驟有三：
1° 找出一個幾何元素F′∈B(即作出具有性質(zhì)B的圖形F′)；
2° 證明F′∈A(即F′也具有性質(zhì)A)；

這樣，運用同一法的前提條件、證明步驟，都有了充分的理論依據(jù)，以前關(guān)于同一法則和同一法的一些模糊提法，也得到了澄清．
Ⅲ．抽屜原理