從一道不等式題的證明談學生創新能力的培養

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從一道不等式題的證明談學生創新能力的培養
【摘要】 不等式是研究數學問題的重要工具，是培養學生論證能力的重要內容。它滲透在高中數學的各個部分，尤其是與函數、復數、三角和幾何存在著密切的關系。不等式是數學思想的載體，突出體現了等價轉化，函數與方程、分類討論、數形結合等數學思想。本文從一道不等式題的多種證法，引導學生從不同角度，用不同的思維方法解決問題。大大的激發了學生的學習熱情，從而培養了學生的創造性思維。
【關鍵詞】不等式  證明  培養  創新能力  培養
 問題：a、b、m∈R+  且a＜b，求證：＞
（方法一）證明：比差法：差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。 
左-右=-==  ①
∵a＜b，a、b、m∈R+        ∴  m（b-a）＞0  b（b+m）＞0   ∴①＞0   即不等式成立
證法二：比商法，商值比較法的理論依據是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。 
左/右=
∵  0＜a＜b ， 0＜m    ma ＜ mb   ma+ab＜mb+ab  ＞1
∴  左/右＞1，即左＞右    ∴ 原不等式成立
證法三：分析法: 分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
∵a、b、m∈R+ ， 要證明  ＞ ， 只要證  b（a+m）＞a（b+m）
即證 ab+mb＞ab+am  即證mb ＞ma   即證  b＞a  顯然成立，∴ 原不等式成立
證法四：綜合法  綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。 
∵  0＜a＜b， 0＜m  ∴ma ＜ mb    ∴  ma+ab＜mb+ab 
∴ a(b+m) ＜b(a+m)     ∴ ＞   ∴原不等式成立
證法五：反證法  反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。
假設不大于，即 ≤
（1） ＜  b(a+m) ＜a(b+m)  mb+ab ＜ma+abmb＜mab＜a
同理可由=b=a  與已知 a＜b 矛盾  ∴原不等式成立
證法六：換元法換元法換元法是對一些結構比較復雜，變量較多，變量之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。
 設=k則a=kb   又∵a、b、m∈R+ 且a＜b   ∴0＜＜1即0＜k＜1
∴＞1   ＞m  則有b+＞b+m＞1    即＞k=
證法七：函數法（利用函數的單調性）
設f（x）=  （分離常數法） ∵  0＜a＜b  ∴a-b ＜0
∴f（x）在[-b，+]上是增函數，  即當x=m＞0時f（m）＞f（0），  ∴＞
證法八：等比定理：   ∵a、b、m∈R+ ，設=（n∈R+）
又∵ a＜b     ∴n＜m  即 ==＜
說明：對于等式兩邊是分式時，等比定理往往是解決這一問題的一個很好的方法。
證法九：斜率法   （1）將看作直角坐標系內兩點A（-m，-m） ，B（b，a）
 ∵  0＜a＜b ， 0＜m   B點位于第一象限內y=x的直線上方。
 ∴  KAB＞KOB   又  ∵KAB=  KOB =   ∴＞
（2）取任意點A（m，m），B（b，a） a＜b  ∴AB的中點C（）
由OA、OB、OC斜率關系為KOB＜KOC＜KOA        故得＜＜1
證法十：定比分點       ∵   =   ①