廣義正定矩陣的性質

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廣義正定矩陣的性質
 摘要
 正定矩陣在矩陣理論中占有十分重要的地位，它在幾何學，物理學，概率論以及最優化理論等諸多學科中都得到了重要的應用，但是隨著數學本身的發展以及應用矩陣其他科學的發展，人們越來越感到正定矩陣理論的不足，有不少人開始研究未必對稱的較為廣義的正定矩陣。由于理論和統計，微分方程，經濟學等實際問題的需要，國內外都有很多文章研究了各種類型的廣義正定矩陣[1-15]，并取得了一些重要結果。本文在這些研究的基礎上，進一步研究了采用“乘積對稱化”技術對復Hermite(實對稱)正定矩陣所作的推廣，給出了這類廣義正定矩陣的一些性質以及與穩定矩陣的關系。此外，還給出了一些容易忽視的需要注意的事項。對于每條性質以及每個注意事項，都給出了詳盡的證明過程。
關鍵詞 正定矩陣,廣義正定矩陣,穩定矩陣。
 一 引言
 正定矩陣在矩陣理論中占有十分重要的地位，在實際中有非常廣泛的應用。它在幾何學，物理學，概率論以及最優化理論等諸多學科中都得到了重要的應用，但隨著數學本身以及應用矩陣的其他學科的發展，越來越感覺到不能滿足需要，于是，有不少人開始研究未必對稱的較為廣義的正定矩陣。
 。僅就實矩陣而言，正定矩陣的概念有過多次推廣，豐富了正定矩陣的理論，取得了許多新成果。對正定矩陣的推廣有兩個方向，一個為對矩陣加法的推廣：
 因為對任意的，有分解，
其中，
分別稱和為的對稱分支和反對稱分支。如果的對稱分支是正定矩陣，稱為亞正定矩陣。
 另一個方向為采用“乘積對稱化”技術對復Hermite(實對稱)正定矩陣所作的推廣。
 本文所要研究的就是第二個方向的這種乘對稱類的廣義正定矩陣。
 正定矩陣的常規定義為：
定義1[6]  設，若,對任意的,都有,則稱為Hermite正定矩陣。
定義2[1]  設,若,對任意的,都有,則稱為對稱正定矩陣。
    但是，隨著數學本身的發展以及應用矩陣其他科學的發展，人們越來越感到正定矩陣理論的不足，有不少人開始研究未必對稱的較為廣泛的正定矩陣。1970年,C.R.Johnson在[2]中給出了較為廣義的正定矩陣的定義,即
定義3[2]  設,若對任意的,都有正對角矩陣,使,則稱為廣義正定矩陣。
    [2]中指出:這種較為廣義的正定矩陣,不僅在理論上，而且在投入產出經濟理論中，在