從集合論的觀點看中學數學中的概念和問題

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從集合論的觀點看中學數學中的概念和問題
【摘 要】：集合論是中學數學，乃至整個數學的理論基礎．其他數學概念，諸如整數、有理數、實數、幾何圖形、函數、代數、運算、微積分等，都可以用集合論的理論、方法和語言加以表述。
【關鍵詞】：集合論的理論與方法   表述 中學代數 幾何
 19世紀70年代Cantor創立的集合論，雖然在上世紀末已被數學家廣泛接受，并用它作為構筑整個數學大廈的基礎，但是它本身卻是用說明的方式建立的，未被嚴格理論化，因此被后人稱為“樸素”的集合論．盡管如此，在我們中學數學教科書或一般高等數學(非數學基礎學科)書中所講、所用的集合論知識，正是這種樸素的集合論。
  從集合論的觀點來看，中學代數主要研究數集的擴張、運算和變換。解方程(或不等式)f(x)= 0(≥0)，就是要求得與由命題形式給出的集合｛x|f(x)=0(≥0)｝相等的具體數集(指明它的元素是哪些數)。解n元方程組，則是要求得笛卡兒積Rn的一個具體子集，使等于由命題給出的集合。
中學幾何，則主要研究作為平面和空間點集的幾何圖形。幾何圖形的性質，可以歸結為相應點集之間關系的研究。幾何圖形的運動和變換，可以從相應集合的運算來考察。通過建立坐標系，把解方程與求曲線交點這兩類問題對應起來，溝通了點集與有序數組之間的聯系，把點集與數(對)集統一起來。
不少數學證明題可以歸結為：由前提和結論所確定的兩個集合相等或包含關系的判定。集合論為求解和證明數學題提供了簡明的表達方式。
 下面結合實例來說明以上觀點。
 1. 從集合論的高度概括中學數學內容，便于從整體上把握中學數學的研究對象。
 中學數學的研究對象是在通常的數集 ( N、z 、Q、R、C) 和通常的空間( R1 、R2 、R0 ) 中研究數、式、形，包括數和式的運算和變形， 方程和不等式的解，函數的圖象和性質， 幾何圖形的結構和變換， 形與數之間的對應關系， 等等。它們可以在集合論的觀點下聯系和統一起來， 并歸結到某一種集合或幾種集合間的某些關系當中去研究， 例如：
 方程的解集； 
 不等式的解集； 
 R1 、R0 或R3 中滿足一定條件的點集( 圖形、曲線) ； 
 運算、函數、序是集合上的某種關系； 
 幾何元素間的各種結合關系、平行與垂直是集合間的某種關系； 
 從自然數集到整數集→有理數集→實數集的擴充過程都可通過對前一個集按集合的某種等價關系分類而得。
 平面幾何中圖形的平移、旋轉、反射、 相似等幾何變換都是R2 中集合間滿足一定條件的對應關系。
 2.用集合論的語言表述有關概念更為簡潔。
中學平面幾何和立體幾何中一些基本幾何圖形，如線段、圓、球等，都是作為一個整體圖形來看的．從它們傳統的定義中，很難明確指出它們的各個部分究竟是什么，以致一些中學生分不清線段AB和它的長度|AB| ，圓與圓周，球和球面等。如果用集合論的方法和語言來表述這些圖形，把它們看作是滿足某些條件的點的集合。就會弄清楚這些圖形究竟包括哪些點。
例如，平面圖形中以O點為圓心、以r 為半徑的圓，是集合
⊙(O，r)＝ ｛P｜｜ OP｜≤r｝
而這個圓的圓周是集合｛P｜｜OP｜=r｝。
 這樣，就把圓和圓周這兩個概念嚴格區分開來了。
 線段AB，可表示為點集
AB＝｛M||AM＋|MB|=|AB|｝
角∠AOB，可視為由從點O出發的兩條射線OA、OB，以及平面被它們劃分開的兩部分之一的所有點構成的集合。如下圖，(a)與(b)中的兩個角，雖然它們的頂點和邊相同，但卻是完全不同的角。