集合論的產生及發展

集合論的產生及發展

[摘 要] 集合論是現代數學的基礎,是數學不可或缺的基本描述工具.可以這樣講,現代數學與離散數學的"大廈"是建立在集合論的基礎之上的.集合論的研究起源于對數學的基礎研究:對數學的對象,性質及其發生,發展的一般規律進行的科學研究.德國數學家康托爾從1874年始,發表了一系列集合論方面的著作,從而創立了集合論.
[關鍵詞] 集合論  康托爾
 一、集合論是怎樣產生的？
　　十七世紀數學中出現了一門新的分支：微積分。在之后的一二百年中這一嶄新學科獲得了飛速發展并結出了豐碩成果。其推進速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基礎。十九世紀初，許多迫切問題得到解決后，出現了一場重建數學基礎的運動。正是在這場運動中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實數點集，這是集合論研究的開端。到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。
 1、產生背景：
 集合論在19世紀誕生的基本原因，來自數學分析基礎的批判運動。數學分析的發展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴重的邏輯困難，而且還使實無窮概念在數學中信譽掃地。19世紀上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎上建立起連續、導數、微分、積分以及無窮級數的理論。正是這19世紀發展起來的極限理論相當完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至產生邏輯矛盾。19世紀后期的數學家們發現使柯西產生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎的極限概念上。嚴格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，確實地建立在純粹嚴密的算術的基礎上。于是，許多受分析基礎危機影響的數學家致力與分析的嚴格化。在這一過程中，都涉及到對微積分的基本研究對象─連續函數的描述。在數與連續性的定義中，有涉及關于無限的理論。因此，無限集合在數學上的存在問題又被提出來了。這自然也就導致尋求無限集合的理論基礎的工作。總之，為尋求微積分徹底嚴密的算術化傾向，成了集合論產生的一個重要原因。
 2、集合論的建立：
 康托在1879到1884年間集中于線性連續統的研究，相繼發表了六篇系列文章，匯集成《關于無窮的線性點集》。前四篇直接建立了集合論的一些重要結果，包括集合論在函數論等方面的應用。其中第五篇發表于1883年，它的篇幅最長，內容也最豐富。它不僅超出了線性點集的研究范圍，而且給出了超窮數的一個完全一般的理論，其中借助良序集的序型引進了超窮序數的整個譜系。同時還專門討論了由集合論產生的哲學問題，包括回答反對者們對康托所采取的實無窮立場的非難。這篇文章對康托是極為重要的。1883年，康托將它以《集合論基礎》為題作為專著單獨出版。
二、集合論的發展史
 《集合論基礎》的出版，是康托數學研究的里程碑。其主要成果是引進了作為自然數系的獨立和系統擴充的超窮數。康托清醒地認識到，他這樣做是一種大膽的冒進。“我很了解這樣做將使我自己處于某種與數學中關于無窮和自然數性質的傳統觀念相對立的地位，但我深信，超窮數終將被承認是對數概念最簡單、最適當和最自然的擴充。”《集合論基礎》是康托關于早期集合理論的系統闡述，也是他將做出具有深遠影響的特殊貢獻的開端。
     康托于1895年和1897年先后發表了兩篇對超限數理論具有決定意義的論文。在該文中,他改變了早期用公理定義(序)數的方法，采用集合作為基本概念。他給出了超限基數和超限序數的定義，引進了它們的符號；依勢的大小把它們排成一個“序列”；規定了它們的加法，乘法和乘方… …。到此為止，康托所能做的關于超限基數和超限序數理論已臻于完成。但是集合論的內在矛盾開始暴露出來。康托自己首先發現了集合論的內在矛盾。他在1895年的文章中遺留下兩個懸而未決的問題：一個是連續統假說；另一個是所有超窮基數的可比較性。他雖然認為無窮基數有最小數而沒有最大數，但沒有明顯敘述其矛盾之處。一直到1903年羅素發表了他的著名悖論。集合論的內在矛盾才突出出來，成為20世紀集合論和數學基礎研究的出發點。
 康托的集合論是數學上最具有革命性的理論。他處理了數學上最棘手的對象---無窮集合。因此，他的發展道路也自然很不平坦。他拋棄了一切經驗和直觀，用徹底的理論來論證，因此他所得出的結論既高度地另人吃驚，難以置信，又確確實實，毋庸置疑。數學史上沒有比康托更大膽的設想和采取的步驟了。因此，它不可避免地遭到了傳統思想的反對。
 集合論最激烈的反對者是克羅內克，他認為只有他研究的數論及代數才最可靠。因為自然數是上帝創造的，其余的是人的工作。他對康托的研究對象和論證手段都表示強烈的反對。由于柏林是當時的數學中心，克羅內克又是柏林學派的領袖人物，所以他對康托及其集合論的發展前途的阻礙作用是非常大的。另一位德國的知覺主義者魏爾認為，康托把無窮分成等級是霧上之霧。法國數學界的權威人物龐加萊曾預言：我們的“后一代將把（康托的）集合論當作一種疾病”等等。由于兩千年來無窮概念數學帶來的困難，也由于反對派的權威地位,康托的成就不僅沒有得到應有的評價，反而受到排斥。
 另一方面，許多大數學家支持康托的集合論。除了狄德金以外，瑞典的數學家米大格---列夫勒在自己創辦的國際性數學雜志上把康托的集合論的論文用法文轉載，從而大大促進了集合論在國際上的傳播。1897年在第一次國際數學家大會上，霍爾維次在對解析函數的最新進展進行概括時，就對康托的集合論的貢獻進行了闡述。三年后的第二次國際數學大會上，為了捍衛集合論而勇敢戰斗的希爾伯特又進一步強調了康托工作的重要性。他把連續統假設列為20世紀初有待解決的23個主要數學問題之首。希爾伯特宣稱:“沒有人能把我們從康托為我們創造的樂園中驅逐出去。”特別自1901年勒貝格積分產生以及勒貝格的測度理論充實了集合論之后，集合論得到了公認，康托的工作獲得崇高的評價。當第三次國際數學大會于1904年召開時，“現代數學不能沒有集合論”已成為大家的看法。康托的聲望已經得到舉世公認。
三、集合論的意義及影響
 集合論是現代數學中重要的基礎理論。它的概念和方法已經滲透到代數、拓撲和分析等許多數學分支以及物理學和質點力學等一些自然科學部門，為這些學科提供了奠基的方法，改變了這些學科的面貌。幾乎可以說，如果沒有集合論的觀點，很難對現代數學獲得一個深刻的理解。所以集合論的創立不僅對數學基礎的研究有重要意義，而且對現代數學的發展也有深遠的影響。
 今天集合論已成為整個數學大廈的基礎，康托也因此成為世紀之交的最偉大的數學家之一。
參考文獻：
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