淺談數學在計算機科學及應用中的作用2

淺談數學在計算機科學及應用中的作用

 數學學科是現代社會最為基礎和最為重要的學科，它不僅為其它自然科學、工程技術以及社會科學提供了強有力的工具，而且隨著現代科學技術和社會的發展，不斷催生出新的高科技，成為現代技術的關鍵部分。計算機這個現代信息社會的重要物質基礎，就是由數學天才馮·諾依曼在數學理論下構建的。在信息社會，數學已不僅僅是技術發展的理論基礎和研究工具，而且已成為現代技術的一部分，直接以軟件、芯片等作為載體而產品化，成為我們日常生活用品的技術組成部分。現代信息社會、信息技術的發展，不僅僅向數學提出了理論的要求，而且也向數學提出了技術的要求。計算機科學被認為是算法的科學，而算法研究的本質是數學問題。計算機在很多領域的應用，如圖象傳輸與壓縮、復雜的曲面造型、生物信息等都在呼喚新的數學方法，而數學的研究為解決許多高科技問題提供有力工具。
 
對數學的再認識
 數學是一種語言，是一種科學的共同語言，若沒有數學語言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永遠是無法理解的。任何一門科學只有使用了數學，才成其為一門科學，否則就是不完善與不成熟的。數學語言已成為人類社會中交流和貯存信息的重要手段，宇宙和人類社會就是用數學語言寫成的一本大書。培根（Ｂａｃｏｎ）說：“數學是打開科學大門的鑰匙”。忽視數學必將傷害所有的知識，因為忽視數學的人是無法了解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。幾千年來，凡是有意義的科學理論與實踐成就，無一例外地是借助于數學的力量。
 數學是一種工具，一種思維的工具。恩格斯說：數學是現實世界中的空間形式與數量關系。數學就是研究數量、形狀和他們之間關系的科學，這是數學的三大領域。當前數學還在發展，目前已經發展成為包括一百多個分枝的龐大系統。數學已經不是原來人們頭腦中僅僅是數和形，僅僅是陳景潤的概念了。隨著計算機的發明和技術迅速提高，數學學科也進入了新的黃金時代。數學包括三個方面，模式、結構和模擬現實世界。它不光是理論，也是能力，是文化，是素質。
 數學可分為五大學科：純粹（基礎）數學、應用數學、計算數學、運籌與控制、概率論與數理統計。應用數學則以以上數學為綜合理論基礎，可分為：價值數學、運籌學、數理統計學、系統科學、決策論等。目前又發展出混沌、小波變換、分形幾何等。
 　數學科學是自然科學的理論基礎，與化學、理論物理、信息科學、計算機科學等學科相互交叉。數學也是高新技術的理論基礎，這一點對信息科學與信息技術尤其重要。
 
從計算機科學的發展看數學的作用
 計算機科學的學科內容是以理工科的基礎科目，包括物理學（主要是電子技術科學）、基礎數學（含離散數學、線性代數等）為基礎理論支撐發展起來的，理論與實踐相結合的學科。按照基礎理論、基本開發技術、應用以及它們與硬件設備聯系的緊密程度分成三個層面，即理論基礎層、專業基礎層和應用層。
 最底層是計算機科學的基礎層，它包括計算的數學理論、高等邏輯等內容。其中，計算的數學理論涵蓋可計算性（遞歸論）與計算復雜性理論、形式語言與自動機理論、形式語義學（主要指代數語義、公理語義等）、PETRI網理論等方向；高等邏輯涵蓋模型論、各種非經典邏輯與公理集合論等方向。
中間層是計算機科學的專業基礎層，它是為應用層提供技術和環境的一個層面，包括軟件開發方法學、計算機網絡與通信技術、程序設計科學、計算機體系結構、電子計算機系統基礎。其中，軟件開發方法學涵蓋順序、并行與分布式軟件開發方法學，如軟件工程技術、軟件開發工具和環境等方向；計算機網絡與通信技術涵蓋計算機網絡互聯技術、數據通信技術，以及信息保密與安全技術等方向；程序設計科學涵蓋數據結構技術、數值與符號計算、算法設計與分析（包括并行與分布式算法設計與分析）、程序設計語言、程序設計語言的文法與語義、程序設計語言的文法與語義描述、程序設計方法學、程序理論等方向；電子計算機系統基礎涵蓋數字邏輯技術、計算機組成原理、故障診斷與器件測試技術、操作系統、編譯技術、數據庫系統實現技術、容錯技術等方向。
 最上層是計算機科學的應用層，它包括人工智能應用與系統，信息、管理與決策系統，計算可視化、科學計算等。其中，人工智能應用與系統涵蓋人工智能、機器人、神經元計算、知識工程、自然語言處理與機器翻譯、自動推理等方向；信息、管理與決策系統涵蓋數據庫設計與數據管理技術，數據表示與存儲（包括多媒體技術），數據與信息檢索，管理信息系統，計算機輔助系統，決策系統等方向；計算可視化涵蓋計算機圖形學、計算幾何、模式識別與圖像處理等方向。
 從計算機的誕生和發展過程來看，每一步都與數學基礎和數學的發展息息相關。
 
 三、從計算機的靈魂——系統及軟件的編輯看數學的作用
 我是學數學的，現在從事計算機方面的工作，也了解幾種程序設計語言，80年代我在中學曾帶過BASICA程序設計奧賽班，在教學BASICA語言過程中，深深體驗到數學基礎對學好編程的重要性，其中不光要有數學知識，更重要的是“數學思想”和“數學方法”。所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質的認識，是對數學規律的理性認識。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本策略和程序，是數學思想的具體化反映。簡單地說，數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學和行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程。當這種積累達到一定程度時就產生飛躍，從而上升為數學思想。由此可見，數學思想比方法更抽象、更概括、更本質，思想是相應方法的理論根據，方法是相應思想的技術實施。如果將數學思想與方法看成一整體概念－－數學思想方法，就是對數學知識的本質反映。數學好象一直被人稱為科學之王，盡管我們知道這種說法有失確鑿。但是我們并不能否認數學的作用，一個專門為了理論而理論的學科；一個走在時代前沿的學科。 因此，我們把計算機語言稱為“算法語言”也就不足為怪了。
 一直以來有不少人搞不清數學與算法的關系。算法是建立在抽象數據類型（ADT）并且封裝了一系列的運算，也就是算法是以抽象數據類型為基礎的。而抽象數據類型本身就是一（或多）組的數學模型，也可以說（狹義的）算法就是在一個數學模型上求解問題的步驟。
定義：ADT  X;  
輸入：INPUT  X；
對輸入數據的處理過程：F(X)  =  X'
輸出：X';
從輸入狀態X的經過映射F(X)后，轉為目標狀態X'，就是程序的求解過程。實際上對于F()可以簡單的理解成“算法”。簡單一點說，程序實際上是由一系列簡單的邏輯組成的。編程能力是由你的邏輯思維能力和抽象思維能力決定的。數學是訓練邏輯思維的最好方法。舉個例子：我的一個學生曾來信對我說：“我是學習信息與計算科學的，一直與數學專業的一起上課。只是比他們多開了一些計算機方面的課程。”這是因為數學系的學生再學數據結構會覺得很簡單。數學差的人不可能成為優秀的搞計算機軟件的人。舉個簡單的例子：只準一個像素一個像素的，請你畫一個圓。能沒有數學？而且還不是太簡單的數學問題。

    四、今后，數學與計算機的關系將更加緊密，互相促進、共同發展。
 在計算機應用領域，科學計算是一個長久不衰的方向。該方向主要依賴于應用數學中的數值計算的發展，而數值計算的發展也受到來自計算機系統結構的影響。早期，科學計算主要在單機上進行，經歷了從小規模數值分析到中大規模數值分析的階段。隨著并行計算機和分布式并行計算機的出現，并行數值計算開始成為科學計算的熱點，處理的問題也從中大規模數值分析進入到中大規模復雜問題的計算。所謂中大規模復雜問題并不是由于數據的增大而使計算變得困難，使問題變得復雜，而主要是由于計算中考慮的因素太多，特別是一些因素具有不確定性而使計算變得困難，使問題變得復雜，其結果往往是在算法的研究中精度與復雜性的矛盾難于克服。幾何是數學的一個分支，它實現了人類思維方式中的數形結合。在計算機發明之后，人們自然很容易聯想到了用計算機來處理圖形的問題，由此產生了計算機圖形學。計算機圖形學是使用計算機輔助產生圖形并對圖形進行處理的科學。并由此推動了計算機輔助設計（CAD）、計算機輔助教學（CAI）、計算機輔助信息處理、計算機輔助測試（CAT）等方向的發展。
 在各種實際應用系統的開發中，有一個重要的方向值得注意，即實時系統的開發。利用計算機證明數學定理被認為是人工智能的一個方向。人工智能的另一個方向是研究一種不依賴于任何領域的通用解題程序或通用解題系統，稱為GPS。特別值得一提的是在專家系統的開發中發展了一批新的技術，如知識表示方法、不精確性推理技術等，積累了經驗，加深了對人工智能的認識。20世紀70年代末期，一部分學者認識到了人工智能過去研究工作基礎的薄弱，開始轉而重視人工智能的邏輯基礎研究，試圖從總結和研究人類推理思維的一般規律出發去研究機器思維，并于1980年在《Artificial Intelligence》發表了一組非單調邏輯的研究論文。他們的工作立即得到一大批計算機科學家的響應，非單調邏輯的研究很快熱火朝天地開展起來，人工智能的邏輯基礎成為人工智能方向發展的主流。這些研究與發展，都依賴與數學的發展，并不斷的向數學學科提出新的要求，不斷的促進數學領域的研究與創新。
 
 總之，在計算機科學中，計算比實現計算的技術更重要。只有打下堅實的理論基礎，特別是數學基礎，學習計算機科學技術才能事半功倍，只有建立在高起點理論基礎之上的計算機科學技術，才有巨大的潛力和發展前景。