淺談計算機的數學基礎

本論文在其他論文欄目，由論文格式網整理,轉載請注明來源www.donglienglish.cn,更多論文,請點論文格式范文查看淺談計算機的數學基礎
[摘要]：計算機科學的理論學科形態是基于數學的，所以，數學是計算機科學的主要基礎，以離散數學為代表的應用數學是描述學科理論、方法和技術的主要工具。計算機科學與技術學科中不僅許多理論是用數學描述的，而且許多技術也是用數學描述的。
[關鍵詞]：應用數學基礎計算機
計算機科學的理論學科形態是基于數學的，所以，數學是計算機科學的主要基礎，以離散數學為代表的應用數學是描述學科理論、方法和技術的主要工具。計算機科學與技術學科中不僅許多理論是用數學描述的，而且許多技術也是用數學描述的。
近年來，學科的高速發展已經明確地反映出這樣一個特點：學科基礎研究和技術開發越來越多地同數學建立更為緊密的聯系，對各種數學工具的使用不僅越來越廣泛，而且越來越深入。例如，邏輯學在學科中的應用從早期的數理邏輯發展到今天的模型論和非經典邏輯；代數學在學科中的應用從早期的抽象代數發展到今天的泛代數；幾何學的應用從早期的二維平面計算機繪圖發展到今天的三維動畫軟件系統；并在與復分析的結合中產生了分形理論與技術；在數據壓縮與還原、信息安全方面引入了小波理論、代數編碼理論等；非線性規劃方法在復雜動態問題中的處理等都已經在學科中找到具體應用。
電子計算機快速、準確的演算能力給數學方法帶來了革新。它的應用改變了那些被認為“純數學”、“純理論”根本無法求解的數學方程，能夠直接與生產結合，定量地指導生產實踐，如量子力學中的薛定諤方程等。它的應用使數學方法滲透到各個領域，特別是滲透到那些過去被認為與數學關系不大的學科領域，產生出新的數學分支，如計算天文學、計算物理學、計算化學、經濟數學等等。它的應用促進了數學本身的發展，使這門一向置身于實驗科學之外的科學擠進了實驗學科的行列，使數學的面貌為之一新。人們利用電子計算機快速、準確的計算性能，可以對某些數學問題的求解進行試算工作。如美國數學家多拉，運用這種數學試驗方法，探討了非線性現象，用計算機求解，結果在熒光屏上找到了非線性方程的數學解（孤立子方程）。這是計算機應用史上的重大突破，它體現了數學方法的重大變革。電子計算機的應用使系統方法由定性到定量研究事物、解決問題成為可能。如果沒有計算機，要運用系統方法解決最優設計、最優控制、最優管理是不可想象的。
在很大程度上，計算機科學與計算機“智能”是極大地借助了數學的神秘性才贏得在大眾文化中的崇高聲譽的。從畢達哥拉斯到柏拉圖一直到笛卡爾、羅素，在西方哲學史上，數學一直具有很高地位，被認為是真理的化身與理性的表征。人們從對數學思想的迷戀進而產生對數字與數學邏輯結構所具有的明晰性的景仰。而現代的信息論與控制論不但使數學邏輯結構得到了某種新的發展，同時也繼承了自畢達哥拉斯開始的數學本身所具有的某種神秘主義色彩。在那個神秘的“方盒子”里，人們根本看不到計算機是如何處理信息及進行復雜運算的，沒有中間步驟，只有快速而精確的結果。但羅氏指出智力活動并不就是計算過程，所謂的“人工智能”一旦超出純理性的界限，或者試圖把純理性的規律向現實世界推廣，便會立即顯出數學邏輯的眾多局限。
計算機科學的邏輯基礎與構造性數學的邏輯基礎是一致的，即構造性邏輯。直覺主義邏輯與形式主義邏輯的思想方法在學科的發展中都有廣泛的應用，它們構成了整個學科最重要的邏輯思想基礎。但是，從圖靈機的誕生，學科基本問題，學科發展的歷程、特點和規律進行考察，直覺主義邏輯仍是整個學科賴以發展的最主要的基石之一。
計算機系統運行的嚴密性、學科理論方法與實現技術的高度一致是計算機科學與技術學科同數學學科密切相關的根本原因。從學科特點和學科方法論的角度考察，計算機科學與技術學科的主要基礎是數學，特別是數學中以代數、邏輯為代表的離散數學；而程序技術和電子技術僅僅只是計算機科學與技術學科產品或實現的一種技術表現形式。
數理邏輯與抽象代數是學科最重要的兩項數學基礎，它們的研究思想和研究方法在學科許多有深度的領域得到了最廣泛的應用。可以從下列幾個方面認識數理邏輯和代數在學科中的地位和作用：
（1）首先，從計算模型和可計算性的研究來看，可計算函數和可計算謂詞是等價的，相互之間可以轉化。這就是說，計算可以用函數演算來表達，也可以用邏輯推理來表達。作為計算模型可以計算的函數恰好與可計算謂詞是等價的，而且，數理邏輯本身的研究也廣泛使用代數方法；同時，邏輯系統又能通過自身的無矛盾性保證這樣一種計算模型是合理的。由此可見，作為一種數學形式系統，圖靈機及其與它等價的計算模型的邏輯基礎是堅實的；
（2）在實際計算機的設計與制造中，使用數字邏輯技術實現計算機各種運算的理論基礎是代數和布爾代數。布爾代數只是在形式演算方面使用了代數的方法，其內容的實質仍然是命題邏輯。依靠代數操作實現的指令系統具有（原始）遞歸性，而數字邏輯技術和集成電路技術只是計算機系統的一種產品或實現的技術形式；
（3）從計算機程序設計語言方面考察，語言的理論基礎是形式語言、自動機與形式語義學。而形式語言、自動機和形式語義學所采用的主要研究思想和方法來源于數理邏輯和代數。程序設計語言中的許多機制和方法，如子程序調用中的參數代換、賦值等都出自數理邏輯的方法。此外，在語言的語義研究中，四種語義方法最終可歸結為代數和邏輯的方法。這就是說，數理邏輯和代數為語言學提供了方法論的基礎；
（4）在計算機體系結構的研究中，像容錯計算機系統、Transputer計算機、陣列式向量計算機、可變結構的計算機系統結構及其計算模型等都直接或間接與邏輯和代數密不可分。如容錯計算機的重要基礎之一是多值邏輯，Transputer計算機的理論基礎是CSP理論，陣列式向量計算機必須以向量運算為基礎，可變結構的計算機系統結構及其計算模型主要采用類似于語義學中的邏輯與代數的方法；
（5）從計算機各種應用的程序設計方面考察，任何一個可在存儲程序式電子數字計算機上運行的程序，其對應的計算方法首先都必須是構造性的，數據表示必須離散化，計算操作必須使用邏輯或代數的方法進行，這些都應體現在算法和程序之中。此外，到現在為止，算法的正確性、程序的語義及其正確性的理論基礎仍然是數理邏輯，或進一步的模型論。真正的程序語義是模型論意義上的語義；
（6）高等代數和一般抽象代數只解決了個體對象為簡單個體的論域上的大量運算問題，對具有結構特征和屬性成分的復雜個體的論域上的運算問題，表達和處理是不方便的，常常是有困難的。針對這類對象的運算操作及其正確性等語義學問題，有必要發展泛代數和高階邏輯理論。數學學習除了對學生具有一般理工科意義上的基礎訓練以外，更重要的是要通過嚴格的訓練，逐步實現思維方式的數學化。
目前，國內外大多數計算機科學與技術工作者數理邏輯基礎知識只涉及到命題演算、一階謂詞演算和少量的邏輯系統演算特征（范式部分），近世代數基礎知識只涉及群、環、域和格，尚未具備邏輯演算的系統特征中等值代換（替換）和邏輯公式的計算（無嵌套范式和邏輯演算歸約等）基礎知識、模型論基礎知識和泛代數基礎知識，這在今后深入研究具有復雜結構的對象的表示、操作和計算的正確性、人工智能的邏輯基礎和非確定性計算問題時常常是不夠的。要使工程師在今后的知識更新中能比較順利地深入掌握新知識，必須加強數理邏輯、抽象代數、集合論、圖論、理論計算機科學的修養。因為，理論計算機科學的內容中包含了大量本學科最基本的方法和技術思想。
下面從分析影響數學變革的條件的重大變化開始分析計算機科學對數學的影響。
科學技術的迅速發展，特別是信息時代的到來，要求人們具有更高的數學修養。高科技的發展、應用，把現代數學以技術化的方式迅速輻射到人們日常生活的各個領域，智能機器人、辦公自動化以及計算機儲蓄、售貨等電子產業將高速發展并深入到社會生活的各個方面。
生活中需要越來越多的數學語言。各種統計圖表、數學符號向各行各業普通老百姓傳遞著大量信息。其次，數學及其應用有很大變化，不僅發現了許多新的數學領域而且應用數學的問題類型以空前的速度增長。當然，最顯著的是計算機的發展和計算機應用的迅速增長。這些計算機的應用絕大多數都要求發展新的數學，這使得在計算機出現以前不可能在這些領域應用的數學得到進一步的應用和發展。
數學的發展使人們對“數學是什么”的認識有了變化。數學是一門科學。觀察、實驗、發現、猜想等數學的實踐部分與任何自然科學是一樣多的。嘗試和錯誤、假說和調研，以及度量和分類是數學家常用的部分技巧。實驗室作業和實習作業對于理解數學是什么及其如何使用不但是適宜而且是必需的。在數學實驗室里計算器和計算機是必需的工具。實際數據（科學實驗、人口統計、民意測驗等的數據）、觀察和度量的對象（骰子、方塊、球）以及作圖工具（尺子、細繩、量角器、膠泥、坐標紙）都是必需的。
像生物是有機體的科學、物理是物和能的科學一樣，數學是模式的科學。這種表述至少可以回溯到笛卡爾，他把數學稱作“序的科學”，后來物理學家史地文·溫伯格（Steven Weinberg）用它去解釋數學預測自然的神奇能力時作了改進。類似地把數學看成“模式與關系”的科學，形成了在《美國大眾科學》(Science for All Americans)中表述數學的基礎。通過它們的所有表現形式數、數據、形、序，甚至模式本身來劃分、解釋和描述模式，科學家遇到的任何模式都可以在某處解釋為數學實踐的組成部分。
數學也是一種交流形式，它是自然語言的補充，所以數學不僅是一門科學，而且是一種語言；不僅是自然所說的語言，而且是商業、貿易的合適語言。
數學科學現在是自然科學、社會科學和行為科學的基礎。由于計算機和世界范圍的數字式交流的支持，商業和工業都越來越依靠不僅是傳統的而且是現代的數學分析方法。數學可以作為商業和科學的語言，準確地說是因為數學是描述模式的語言。它的符號和句法、詞匯和成語是交流關系和模式的通用工具。它是一種每個人都必須學習使用的語言。
如果說數學是模式的科學和語言，那么要學懂數學就是要去研究和表示模式之間的關系：在復雜、模糊的環境中能夠辨明模式；理解并變換模式間的關系；對模式進行分類、編碼、描述；用模式的語言讀寫；并使用模式的知識達到各種實際目的。要掌握模式的多樣性，數學課程需要介紹和發展多種不同類型的數學模式。數學要研究的模式不限于算術法則，所以中學數學里研究的模式必須打破人為的限制。一個研究數學的人，他搜集、發現、創造或表達關于模式的事實和思想。數學是一種創造性的、活躍的過程，與被動地掌握概念和程序很不相同的。事實、公式和信息有多大價值只有看它在多大程度上支持有效的數學活動。雖然有些基礎的概念和程序是所有學生都必須掌握的，但是教學應當更加堅定地強調學數學必須追求去理解、去交流，而不僅僅是去計算，通過展開模式的基本原理，數學可以使腦子成為處理現實世界問題的有效工具。
計算器和計算機已經深刻地改變了數學世界。它們不僅影響到什么數學是重要的，而且也影響到如何發展數學，現在袖珍計算器上能夠做幾乎所有幼兒園到兩年制大學教的數學技術，僅這一事實（巴斯卡的夢在我們這個時代實現了）就必定會大大影響數學。比如對發展常規計算技能的重視程度應降低，這就會有更多的時間來發展對數學過程的理解和推理能力；易于開發一種課程，可能加強近似計算和估算。一個學生能準確作2507×4131的乘法和能夠說出結果大約是一千萬,哪個更重要些呢?常常一個近似的答案不僅已經足夠，而且比精確答案需要更多的洞察力。近似答案可以給精確結果提供快速檢驗；可以開發強調各種數學方法的更廣的課程。計算機技術讓數學更加實際，計算機出現之前，難以完成現實問題所要求的計算，有了計算機計算不再是障礙，只要問題能被掌握，就能解出。

相關論文


上一篇：淺談如何提供適宜多樣的室內體育..	下一篇：淺談發展幼兒早期閱讀

Tags：計算機數學基礎

【收藏】【返回頂部】