開展數學創新教育的最佳途徑

開展數學創新教育的最佳途徑------發展合情推理能力
 目前，知識經濟在我國已初露端倪。知識經濟的核心是創新。原國家主席江澤民曾經指出“創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力”。因此數學面臨的新課題是發展學生的創新能力。實施教學的主戰場是課堂教學。傳統的課堂教學，基本上是沿用了捷克教育家夸美紐斯和蘇聯教育家凱洛夫所倡導的“組織教學——復習舊課——講授新課——鞏固新課——布置作業”等五個環節組成的課堂教學結構形式，它的最明顯的局限性在于整個課堂環節自始至終貫穿“教師中心”、“知識中心”在教學實踐中形成“滿堂灌”、“注入式”的格局，在學生儲存知識上下功夫，把人的頭腦看成是一個專門儲存知識的倉庫，阻礙了學生的創新意識。
 教學應答知識經濟時代到來的策略之一，應該是改革課堂教學結構，實施創新教育。創新教育是詣在培養受教育者創新能力（含創新意識，創新精神等）的教育思想、觀念、方法和手段的總和，它的最終目標是發展創造型人才。運用數學方法論的觀點和高級神經活動生理學研究成果，分析數學思想，我們可以了解到，數學思維有兩重性：一類是進行邏輯推理（左腦思維），另一類是進行合情推理的形象思維（右腦思維）合情推理也叫探索推理、似然推理，就是運用觀察、實驗、類比、推廣、限定、聯想、猜想、不完全歸納等一套自然科學中常用的探索式方法進行推理，它們不僅在數學的創新過程中起著十分重要的作用，而且廣泛應用于社會生活中，也是人們的一般文化修養的組成部分，傳統的數學課堂教學活動中，基本忽略了這一重要部分，創新教育就是要通過創新意識、創新精神的培養，激發學生的想象力和靈感，促進右腦開發，進而促進大腦兩半球協調發展，人腦的潛能將在創新教育中得到充分發掘。
 因此，無論從素質教育的要求來看，還是從數學思維本身特點來看，都要求我們將學生從接受知識轉軌到發現新知識，發展創造性思維的能力上來。
 早在1988年，我國著名數學家徐利治就指出：“要用玻利亞的思想改革數學教材和教學方法，要培養玻利亞型的數學工作者”，從而在我國正式拉開了把數學方法論和玻利亞的數學教育思想應用于課堂教學實踐的序幕，從此，我們逐漸開始探索，在發展學生邏輯推理能力的同時進行合情推理能力的發展。
 玻利亞曾說：“用那些缺乏推動力，得不到什么收獲的乏味的證明充塞著教本的每一頁，會給最好的學生帶來最壞的印象”。因此，我們要發展學生的合情推理能力，首先必須用數學方法論的觀點對教材進行加工、處理，充分挖掘教材，讓“死”的內容“活”起來，尋找有利于發展合情推理能力的知識點。在課堂教學中要善于捕捉有利時機，力求讓學生的思維與數學家發現問題的思維過程或教材作者的思維過程同步，讓學生參與到知識的發生、發現過程中去，體驗到發明創造的情景、方法及樂趣。
 眾所周知，創造性思維需要靈感，但靈感并非是漫無邊際胡思亂想就會突然冒出來的，正所謂：“機遇只會恩賜給有準備的人”，靈感的得來需要有合情推理一定量的積累，才能最終達到質的飛躍，進入“頓悟”的境界。而嚴密的邏輯推理一般是對創新思維進行驗證和完善。因此，作為數學課堂教學，要發展學生的創新能力，必須而且也只能是從發展學生的合情推理能力入手。現通過以下三種合情推理來例說創新能力的發展。
類比
類比，是根據兩個對象之間在某些方面的相似或相同，從而推出他們在其他方面也可能相似或相同的一種推理方法。玻利亞說“類比是一個偉大的引路人”，數學家刻卜勒也曾說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能提示自然界的秘密，在幾何學中，它應該是最不容忽視的。”
 例如，在學習三角形相似的判定定理時，我們可以通過全等三角形的判定定理來類比推出。學生知道全等是相似的特殊情況，當兩個三角形的相似比為1時則這兩個三角形全等。有類比習慣的同學，自然會通過三角形全等的判定定理——SAS、ASA、SSS構造出三角形相似的判定定理。會提出問題自然也是創新能力的重要方面。
 又如，學生在開始學球的體積公式時，一點感性認識都沒有。此時，可先對圓的面積公式進行研究，圓的面積公式S=πR 2可略作變形：S=πR 2=1/2*2 πR*R=1/2CR。這樣圓的面積就可以看作是以圓周為底邊，圓半徑為高的三角形的面積，由此推測：球的體積應該是以球面為底面，球半徑為高的圓錐的體積，即V=1/3*4πR2R=4/3πR3。此時，學生自然要去探索，這個猜想是否正確呢？從而進一步激發了學生的求知欲。另外，正由于有了這一思維過程，對這一公式的印象就特別深刻，從而也就牢記不忘了！
 類比的信息源十分廣泛，只要深入挖掘，便能獲得許多新的結論或是尋找到許多解決問題的新途徑。
特殊化
玻利亞在“怎樣解題表”中提到：如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題，你能不能想出一個更容易解決的有關問題？一個更特殊的問題？他在《數學與猜想》一書中多次提到“起主導作用的特殊情形”。可見他對特殊化這一數學方法有多“鐘情”了。
 例如，有這樣一道選擇題，已知：a,b,c是△ABC的三邊長那么方程cx2+(a+b)x+c/4=0
的根的情況：
               A   沒有實數根               B  有兩個不相等的正實數根
                C  有兩個不相等的負實數根   D  有兩個異號實根
學生如果直接去解非常困難，大多數同學只能確定出有兩個不相等的實數根，這時可以啟發學生考慮用特殊化的方法去解。我們不妨設滿足△ABC的三邊長a,b,c的特殊值a=2,b=3,c=4代入方程，得：4x2+5x+1=0,解得：x1= -1/4,x2= -1.這時容易得出應選C。
極限化
 我國古代數學家劉徽，最早把極限觀念運用到數學中去，并以之成功的解決了一系列重要的數學課題，他在 《九章算術注》中多次應用了極限的觀念，例如在弧田術、開方術、陽馬術等中都用了極限觀念，這與《墨經》和《莊子》中的極限思想是一脈相承的，祖沖之就是運用圓的內接多邊形的面積逼近圓的面積，從而推算出圓周率的近似值的。
 學生有時運用極限化的思想解決問題的方法真叫人拍案叫絕：
 問題：一艘輪船在靜水中從A港口到B港口來回一次，船速為V0，所用時間為t0，當水流速度為V時，從A港口順流而下，再從B港口逆流而上，所用時間為t，問 t0與t 哪一個小？
 有位同學稍加思索，就得出結論：t0小。他考慮到當水流速度越來越大，趨近于船速時，雖順流而下所用時間極短，但逆流而上所用時間將越來越大，趨近于無窮，而t0是一個定值，從而t0小。
 他思維的敏捷程度決不亞于高斯當時解決“1+2+…+100”
 總之，合情推理還有很多，僅以此三種起拋磚引玉之作用。在具體實施創新教育的過程中需注意以下幾個問題：
首先，在課堂教學中，要十分珍視學生的創新意識，努力激發學生的創新欲望，積極保護學生的創新積極性。學生的有些想法在當時當地來看，可能是異想天開的，但仔細研究后往往會發現不無道理。甚至有部分學生的思維質量還會優于教師，所提想法老師也會一時沒有反映過來。此時，更要拋開陳舊的師道尊嚴，鼓勵學生大膽探索，積極創新。
 其次，創新教育要對傳統教學中預習的做法提出新的要求。有的老師認為，預習雖是學習的一個好辦法，但學生預習過的內容，上起來就毫無“懸念”。這要從兩方面來看：一方面如果教者只是照本宣科，那么學生預習后來聽你的課，必然是索然無味，這不是預習的錯，而是你的教學還不是創新教學的必然結果；另一方面，如果學生只是象看小說似的先看看將要上的新內容，這樣的預習也沒有什么大作用，說嚴重點，甚至是在浪費時間。因此，我們要給學生預習的方法：可以先回憶前面學的內容，或是根據課題自己探索新的知識的研究方向，當思維受阻時，適當“偷看”一下課本再作探索；當預習定理的推導、證明或例題時，先不看書上的具體過程，而是“另搞一套”。最終在與課本進行比較。可能你的方法與課本上的不同，甚至優于課本，這正是我們追求的。另外，預習完后，再掩卷深思，你有什么新的思路想法嗎？堅持長期這樣做，一定會大有收獲的。這看起來有點費時，但與沉入“題海”相比，必然會事半功倍。通過這樣高質量預習后的課堂教學才會有學生活躍的思維，才會有許多合情推理的新成果。
 再次，在教學過程中，教師要遵循數學本身的發展發明與創新的規律，遵循學生的身心發展與認知規律，切記過分矯揉造作，不然將適得其反。
 最后，創新教育還涉及到教育評價的標準和方法。只有對課堂教學和學習效果作出更符合創新要求的科學、合理的評價，創新教育才會有蓬勃的生命力。我們相信，創新教育必將替代傳統教育。