淺談集合論的發展及所思

 淺談集合論的發展及所思
[摘 要] 集合論是現代數學中重要的基礎理論。它拓寬了人們對"無窮"和"無窮集合"的深層認識，它影響了現代數學，使數學的發展大大擴充了數學的研究領域，給數學結構提供了一個基礎，集合論不僅影響了現代數學，而且也深深影響了現代哲學和邏輯。
[關鍵詞]集合論    現代數學       影響
 關于集合論
    康托爾是19世紀末20世紀初德國偉大的數學家、集合論的創立者，是數學史上最富有想象力，最有爭議的人物之一。19世紀末他所從事的連續性和無窮的研究從根本上背離了數學中關于無窮的使用和解釋的傳統，從而引起了激烈的爭論乃至嚴厲的譴責。然而數學的發展大大擴充了數學的研究領域，給數學結構提供了一個基礎，集合論不僅影響了現代數學，而且也深深影響了現代哲學和邏輯。
 集合的創立，是同康托爾的成就分不開的，因此康托爾被認為是20世紀有極大影響的數學家。康托爾1845年出生于彼德堡，父母都是猶太人。其父是丹麥商人，年輕時就移居彼德堡。康托爾于1863年在柏林大學學工科，受維爾斯特拉斯影響，由學工轉學純粹數學。6年后任哈雷大學講師。　　康托爾在哈雷大學任教期間，海涅作為他的同事和師長，建議研究黎曼提出的"惟一性理論"。康托爾接受了這個建議， 1870年、1871年、1872年連續發表了三篇論文，提出了"戴德金-康托"公理，定義了導集，使無窮點集成為數學研究的對象。　　1874年，康托又發表了《切代數實數的一個性質》一文。該文提出了"可數集"概念，并以一一對應為準則對無窮集進行分類，該文是集合論誕生的標志。康托爾1874年的論文以取得如此重要的成就，主要是他堅持了一一對應的方法。由于這一認識上的飛躍，才接受了無窮大的真子集對等這一事實。雖然這個事實早在5世紀的普魯克魯斯已經知道，以后在里略、萊布尼茲、波爾查諾等人的研究中都屢次提到，但在康托爾之前，都因為這個結果同"整體大于部分"這一傳統公理把它否定了。康托爾敢于承認有限和無限的本質區別，排除一切傳統的、直觀的世俗偏見，利用一一對應這一有效工具。對無窮集合的特性進行了深入的分析和開拓。　　1879-1884年，在以《關于無窮的線性點集合》為總標題下的一系列論文中，康托爾系統地建立了無窮集合的超基數與超限數的理論。　　為了真正把超限數當作"數"來對待，康托爾不像波爾查諾那樣，隨便給無窮集合指定一個超限數，而是利用等價成。每一個礦脈對應一個基數，并規定超限數大小的比較法則。在建立實數理論的同時，集合論—無窮集合超限數理論也建立起來。兩者所不同的是：前者是殊途同歸；后者是單槍匹馬，獨辟蹊徑。這個獨辟蹊徑者，就是康托爾。　　康托爾關于無空集合的思想，可以溯源很遠。無窮和無窮的集合，從古希臘時代起，就引起許多數學家和哲學家的注意。例如，亞里士多德考慮過整數集合的無窮性，但他只承認潛無窮而不承認無窮。他的這種思想影響了不少人。19世紀，極限理論給出無窮概念。數學家們普遍認為無窮的概念本質上是作為無窮過程即變量變化的形勢來理解的。無窮小定義為幾乎為零的變量，否定了作為數量的實無窮小；無窮大理解為其絕對值可以無限增大的變量，而作為數量無窮大也被忽略了。被譽為"數學之王"的高斯就是一個潛無窮論者。當然，潛無窮在一定條件下是便于使用的，但若把它作為無窮觀則是片面。數學的發展表明，只承認潛無窮，否認實無窮是不行的。　　數學分析嚴格化的大師波爾查諾是一位探索實無窮的先驅，他是正式提出"集合"概念并是試圖著手研究無窮的一個。1851年，他在《無窮悖論》中提出兩個無窮集合的等價概念，明確表達了無窮集合具有"部分可以等于全體"的特征，并力圖用這些說明。實無窮論是在數學中，還是在哲學中，都是合法的，但在理論體系當中，還存在著許多錯誤，如錯誤地用比較無窮大的階的辦法來比較無窮大小。　　集合論是現代數學中重要的基礎理論。但在其產生初期，人們不僅沒有認識到它的重要意義，甚至使它受到激烈的反對。反對派的柏林學派的代表人隆尼克。隆尼克認為：只有自然數才可以作為數學的可靠基礎，任何涉及"無窮"的數學都毫無意義；德國數學家魏爾認為，康托爾把無窮分成等級是霧上之霧。　　由于兩千年來無窮數學帶來的困難，也由于反對派的權威地位，康托爾的成就不僅沒有得到應得的評價，反而受到排斥。在學校，康托只能拿同等資歷教授工資的一半，在社會上，幾家雜志拒絕刊登他的論文，粗暴地指責、無理的歧視給康托帶來巨大的壓力。1884年康托患了精神分裂癥，后來他用宗教信仰作為精神寄托。然而真理是不可戰勝的，他最終獲得了世界的承認，至今享有極高的聲譽。希爾伯特就曾熱烈贊美康托的業績。他大聲疾呼："沒人能把我們從康托所創造的天國中趕走"。羅素把康托的工作稱為："可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作。"
 二、集合論帶來的思考　　集合論的理論意義十分巨大，它拓寬了人們對"無窮"和"無窮集合"的深層認識，它影響了現代數學，也深深地影響了現代哲學和邏輯。就數學而言，集合論改變了數學的各個分支的基本敘述方式，成了它們共同的基礎。
 集合論是現代數學中重要的基礎理論。它的概念和方法已經滲透到代數、拓撲和分析等許多數學分支以及物理和質點力學等一些自然科學部門，為這些學科提供了奠基的方法，改變了這些學科的面貌。幾乎可以說，如果沒有集合論的觀點，很難對現代數學獲得一個深刻的理解。所以集合論的創立不僅對數學基礎的研究有重要意義，而且對現代數學的發展也有深遠的影響。
 今天，集合論已成為整個數學大廈的基礎，康托爾也因此成為世界上的最偉大的數學家之一