黎曼積分與勒貝格積分的區別與聯系(一)

勒貝格積分與黎曼積分的區別與聯系

摘 要

本文從微積分的發展過程出發引出了我們已知的黎曼積分，盡管黎曼積分的理論比較完備，但在考慮某些問題時，我們看到了黎曼積分的局限性，并通過具體的例子給予了說明．于是就有了改造黎曼積分的必要性，從而提出了勒貝格積分．本文的中心任務就是從我們已學過的黎曼積分和勒貝格積分的知識來探討和歸納出兩者之間的區別與聯系，通過具體比較兩者的定義，存在的條件，黎曼積分和勒貝格積分的性質、黎曼可積函數類和勒貝格可積函數類、以及與黎曼積分和勒貝格積分相關的一些定理，并進一步用具體的例子來說明勒貝格積分使一些黎曼積分難以解決的問題變得迎刃而解，最后總結兩者之間的區別與聯系．并順便指出，勒貝格積分是黎曼積分的推廣，但非黎曼反常積分的推廣．

關鍵詞：黎曼積分，勒貝格積分，區別，聯系

THE DIFFERENCE AND RALATION BETWEEN RIEMANN CALCULUS AND LEBEGUE CALCULUS

ABSTRACT

This article begins from the fluxionary calculus developing process which draws out our have known Riemann integral calculus.Although the Riemann integral calculus theory is quite complete， when considered some questions， we saw the Riemann integral calculus very limit． To explain this question through the concrete examples．Therefore it is necessary to point out the Lebesgue integral calculus ．which have the very superiority compared to the Riemann integral calculus． This article’s central task is to discuss and induce the difference and the relation between the Riemann integral calculus and Lebesgue integral calculus from what we have studied the knowledge about the two kinds calculus． Specifically comparing their definition， the existence of conditions， the nature of  the Riemann calculus and Lebesgue calculus ，the Riemann integral calculus function class and Lebesgue integral calculus function class， as well as about the Riemann integral calculus and Lebesgue integral calculus there are some theorems． Furthermore through using the concrete example to explain Lebesgue integral calculus cause the question to be solved easily． Finally summarizing the two kinds integral calculus between the difference and the relation．By the way，Lebesgue integral calculus is Riemann integral calculus promotion，but It is not Riemann improper integral calculus promotion．

KEY WORDS: riemann calculus， lebesgue calculus， difference， relation 

目 錄

第一章 緒 論 1

§1-1 微積分的發展史 1

§1-2 黎曼積分和勒貝格積分的引入 1

第二章 黎曼積分和勒貝格積分的區別與聯系 5

§2-1黎曼積分和勒貝格積分的定義的比較 5

§2-2黎曼積分和勒貝格積分的存在條件的比較 8

§2-3黎曼積分和勒貝格積分的性質的比較 9

§2-4黎曼積分函數類與勒貝格積分函數類 12

§2-5與黎曼積分和勒貝格積分相關的一些定理的比較 12

第三章 實例 15

第四章 總結和展望 16

§4-1本文總結 16

§4-2  展望 17

參考文獻 18

致　謝 19

第一章 緒 論

§1-1 微積分的發展史

積分學的歷史很早，它起源于求積問題，早在古代人們就著手計算由曲邊圍成的圖形的面積．我國數學家劉徽力求單位圓的面積，他的方法是用許多不重疊的三角形來擬合圖形，由于時代的限制他不能克服“無窮運算”的困難．古希臘時代的窮竭法、中國的割圓術和祖暅定理都是早期的積分學．關于積分的理解因為什么是無窮小，什么是不可分量而遇到困擾．古代的窮竭法也只能用于最簡單的曲線所成圖形的面積．如卡瓦列里用數列求和方法實際上得到不定積分，但牛頓將微分學的思想用到積分問題上，看到了積分運算是微分運算在某種意義下的逆運算，也就發展了不定積分的思想，萊布尼茲主要從定積分思想看出了積分運算是微分運算的逆．總之．得到了現在的牛頓—萊布尼茲公式，即設如果是的不定積分，則它一定也是原函數，且任意兩原函數相差一個常數，所以

                   ．

此公式重要性在于計算積分再也不用用古希臘的窮竭法那么冗長了，而有了系統的處理方法．因此微積分成了真正可以應用的理論了，上述公式被成為微積分基本定理，在當時，積分的概念并不清楚，而且他們遇到的函數無非是些簡單的初等函數，到柯西發表他的著名的幾本教科書后也就有了現時我們所了解的積分理論，現在稱這種積分為黎曼積分．其實應該稱為柯西積分．

§1-2 黎曼積分和勒貝格積分的引入

柯西積分的對象是連續函數的積分，當然許可在某些點上不連續或無界，即包括了現在所說的反常積分．而黎曼考慮的對象是使得積分和極限存在的函數類，或如達布所說的上下積分相等．也就所謂的黎曼可積類．黎曼可積函數許可更多的不連續點，極大的擴充了可積函數類．現在我們知道為黎曼可積的充要條件是幾乎處處連續，但是還要研究具有不連續點的函數，這在數學上是十分重要的，一個直接的來源是傅立葉級數的研究，許多物理問題都導致不連續的傅立葉級數問題．處理這類問題需要更有力更細致的數學工具．因此積分理論特別是他的發展在數學推理的嚴格性方面要求更高，如：當僅為黎曼可積時，微積分基本定理的證明有了困難而現在通用的證明方法應用了微積分中值定理，但其中假設了是連續的．達布提出了以下的證明．

達布定理：設在 上可積，在上處處有導數，即．則有

．       （1）

證明：作的一個分劃，所以

，

又由拉格朗日中值定理可得，存在，使得

．

所以

．

由于在上可積，因此當上述分劃無限加細時，右邊的極限即為，所以上述證明在當連續，但在有限多個點上不成立時也是有效的，只是將這有限多個點列入分點之內即可．

上述證明雖然很簡單，易理解，但并未解決問題．因為黎曼可積函數只是幾乎處處連續，而將所有不連續點均歸入分點之內是辦不到的．

另一個例子是關于二重積分化為累次積分的問題，設在長方形區域：

中連續，則必連續．有著名的富比尼定理成立．即

，   （2）

關鍵在于若對連續，則對于固定的，是的連續函數，因此，存在且作為一個含參變量的積分，它是的連續函數，而是有意義的，因此上式是很自然的結果．但若只是黎曼可積時，則對于固定的，是否為的黎曼可積函數甚至是否對幾乎所有，是否為的黎曼可積函數均是個問題，因此不一定有意義，但上下積分仍有意義，因此關于黎曼可積的的二重積分，富比尼定理為：若是在中的可積函數，則有

、

 （3）

此式的意思為內層的上下積分均是參數的黎曼可積函數，而且其積分就等于二重積分，記，在上也是黎曼可積的，且有，則由此是否可得到至少幾乎處處有呢？即對幾乎所有的均存在，則（3）式就變為（2）式了．但是若一個非負黎曼可積函數積分為0，則此函數幾乎處處為0，這證明很難的，而對勒貝格可積函數，（3）式結果是成立的．在黎曼積分中重積分化為累次積分所要求的條件比勒貝格積分理論中要多，從副比尼定理中可知只要重積分存在，它就和兩個累次積分相等，這是勒貝格積分的另一成功之處．

從上述兩例子可看出，黎曼積分雖然比較簡單，但一旦要考慮可能在一個零測度集上不連續的黎曼可積函數一些本來很自然的結果變得很難證明了，甚至可能不成立，尤其是不能在積分號下求極限，故黎曼可積函數類缺乏完備性，有其內在的局限性．

隨著微積分學的發展，人們在利用黎曼積分時，感到它有很大的局限性，這要從黎曼積分的起源說起，我們知道黎曼積分的思想方法是“分割，近似求和，取極限”第一個提出分割區間做和式極限嚴格定義積分的是柯西．他考察的積分對象是  上的連續函數，因此黎曼積分在處理諸于逐段連續的函數以及一致收斂的級數來說是足夠的．然而隨著集合論的一系列工作的創始，出現一些“病態”函數，在研究它們的可積性時．黎曼積分理論面臨了新的挑戰．特別是考慮可積函數的連續性和極限與積分次序交換問題以及微積分基本定理和可積函數空間的完備性方面．

如：（1）狄里克雷函數，由定義可證不是黎曼可積的，因此必須擴大積分的范圍．

(2)在處不連續，但它是非一致收斂的，但此例子說明函數一致收斂只是極限與積分運算交換次序的充分而非必要條件，但一致收斂是非常強的條件，我們要考慮能否將條件減弱呢？

（3）在微積分基本定理中 ，必須可積的，但我們知道存在著可微且導數有界的函數，但其導數不是可積的．因此限制了微積分基本定理的應用范圍．

隨著數學的向前發展，人們發現了許多問題在積分中都無法給出圓滿的解決，科學不斷的前進，積分論在進一步革新．二十世紀初勒貝格提出了積分，它為現代分析數學打開了大門，積分的提出使許多問題變得迎刃而解了．

我們知道積分是用勒貝格積分和代替黎曼積分和，引入測度來推廣長度，概率論就是以測度作為基礎的，與黎曼積分比較，勒貝格積分雖然克服了它的許多缺點，但任何一種理論都不是十全十美的，積分也有它的缺點，如在應用時測度比長度就要麻煩．

第二章 黎曼積分和勒貝格積分的區別與聯系

§2-1黎曼積分和勒貝格積分的定義的比較

黎曼積分與勒貝格積分的定義：

的定義是從求曲邊梯形的面積所引入的．其定義為：設在上有界，對作分割，即

，

記，（稱為分割的細度）在分割所屬的各個小區間上任取一點，則構成一個屬于的介點集，作和式，稱此式為在上屬于分割的一個積分和或稱黎曼和，記為，故有定義為：設為定義在上的函數，是一確定的數，若對任意的，總存在某一，使得上的任意分割，只要，屬于分割的所有積分和都滿足，則稱在上可積．稱為在上的定積分．記為=．

關于積分我們知道它的思想是“分割，近似求和，求極限”，這里的分割是指分割定義域．在此定義中的可積性與的存在性是統一的，但在應用中要求預先知道的值是不現實的．因此我們提出積分的另一定義，如下：  

設在上有界，對作分割，即其中令

．

．

分別稱為（）上積分和（）下積分，如果（）上，下積分積分相等則稱 在上可積．將上，下積分的公共值記為 在上的積分，記為．

我們已知，測度是長度的推廣，上述即為的測度，則啟發我們為推廣（）積分可以考慮將區間的分割推廣為測度空間中具有有限測度的集的分劃，而且對于上的有限正值函數，為使在可積，按照積分的思想，必須使得在分割后，在多數小區間上的振幅足夠小，這使得具有較多激烈震蕩的函數被排除在可積函數類外．因此勒貝格提出了從分割值域入手的積分．即任給，作，其中，分別為在上的下界和上界．令，，如果存在，則定義為．

而對于一般可測函數的積分定義為：設在可測集上可測，若記，則有，若

 不同為 ，則稱在上積分確定且有

，

當此式右端右邊兩個積分值都有限時，稱在上可積．

積分是建立在勒貝格測度論的基礎上，可以統一處理有界和無界的情形，而且函數可定義在更一般的點集上．

為了與積分聯系起來，我們還給出（）積分的另一定義為：設為測度空間，在 上有界，對做分劃 T，，其中所有的都可測 且  ，令 

令，分別稱為（）上，下積分．如果，則 在上可積，并稱 () 上，下積分的公共值為在上的積分，記為．這種定義直觀，易接受，只是它過分的套用了積分定義的模式，掩蓋了的優點．

以上是測度有限可測集上有界函數的積分定義，我們看到它在形式上同積分除了“積分區域”更一般外，主要不同之處在于采用了測度和分劃的不同，即區間一律換成了可測集．

注：當，記為．特別地當，記為．比較兩者定義可知，將分劃成小區間是將分劃成可測集的特殊情況，故必有

．由此式可知，當在上可積時即

時必有．

所以當在上可積時，則在上必可積，但反之不一定成立．如定義在=[0，1]上的狄利刻雷函數，我們已知不是可積的，但由積分的定義可以證明是可積的，且有．

由上述過程可知，()積分的建立是通過分割定義域，對和式求極限而得來的，這只是在每個小區間上所取值的改變而引起的，的變化極小或者即使變化較大，但改變較小時，才可積．而積分卻改變了這種現象，它是對的值域進行分割，把函數值相差不大的點結合在一起，從而擴展了可積函數類，使得好多問題變得迎刃而解了．因此對定義域和值域的分割是積分和積分的本質區別．實際上設定義在集E上，對作分劃 ， 令， 則當在上可測時所有的也可測且   ，．則得到了的相應的分劃．

這時          ， 

因此對的值域作分劃D實質仍然是為了對的定義域作分劃．

§2-2黎曼積分和勒貝格積分的存在條件的比較

可積的條件：

（一） 可積的必要條件是在上有界．（這說明，任何可積函數必須有界，但有界函數未必可積，如狄里克雷函數，這與積分不同，積分可以是無界的）

（二）可積的充要條件有：

1．定義在上有界函數 可積的充要條件為在上的上積分等于下積分，即

．

2．定義在上有界函數 可積的充要條件為，總存在某一分割，使得

．