黎曼積分與勒貝格積分的區別與聯系(二)

4．定義在上有界函數 可積的充要條件為對任給正數，總存在某一分割，使得屬于的所有振幅的小區間的總長不超過．

注：由此條件可以證明黎曼函數

在上可積

可積的條件：

1．設是可測集上的有界函數，則在上可積的充要條件為，存在的分劃D使得)．（此條件與積分類似）

2．設是可測集上的有界函數，則在上可積的充要條件為在上可測（即對于中測度有限的可測集上的有界函數可測性與可積性等價）．

3．設，是上的可測函數，， 則在上可積的充要條件為．

4．設在反常積分存在，則在可積的充要條件為在上反常積分存在，且有．

5．設為上可積函數列，在上幾乎處處成立，且（常數），則在上可積．

§2-3黎曼積分和勒貝格積分的性質的比較

R積分的性質：

1．如果在上可積，k為常數，則k在上也可積，且有．

2．若在上R可積，則在上也可積．（注：有

但）

3．有界函數在上都可積，則在上也可積，且有．

4．設在上可積，且，則．

5．若在上可積，則||在上也可積，且有（注：其逆命題不成立，如在上不可積，但在上可積．

6．設在上可積，則，其中是中任意兩點．

7．設在上可積，則在的任一內閉子區間上也可積．

8．設在上連續且非負，若有，則在上．

9．設在上可積，則在上也可積．

10．設在上可積，且在上有，則在上也可積．

11．設在上連續，且對上任一連續函數，有，則在上．

12．設在上連續，且對于所有那些在上滿足的連續函數有，則則在上．

     13．（黎曼-勒貝格引理）設在可積，則．

L積分的性質：

1．積分區域的可加性．設存在，，式中是互不相交的可測集，則．（注：設，是互不相交的可測集，對于任意的，不能推出．但有能得到，這與積分是有區別的，在積分中）．

2．零集上的積分．若，則．（約定當而或者而都有）．

3．關于可積函數的單調性：（1）．設都存在，且在上幾乎處處成立，則，特別地若在上幾乎處處成立，則．

（2）．設，在上幾乎處處成立，則．（3），設在上可測，若，在上幾乎處處成立，則．

4．關于積分區域的單調性．設，是的可測子集，則存在，特別地，若在上非負可測，則．

5．線性性質．

（1）設，則，（其中為常數）且．（2），設，，則 ．

注：若不能推出，如取，

，

則，但在上不可積．

6．絕對可積性．且在上可測，且有．由于可積函數的絕對可積性故積分是一種絕對收斂的積分，而反常積分不必為絕對收斂，因此積分不是反常積分的推廣．

7．（1）唯一性定理：設在上可測，則在上幾乎處處成立．

（2）設，若對于所有有界函數，均有在上幾乎處處成立．（注：不能推出在上幾乎處處成立．

如取，令，則，但．

8，積分的絕對連續性．設，則對于使得對中任何可測子集，只要．

9，可積函數的逼近性質．設，在上有界可積，則對于上可測的簡單函數，使得在上幾乎處處成立，且．

10，積分的平均連續性．設為距離空間，為距離的外測度，，其中所有的為開集，且為由導出的全有限測度，，則．（簡單的說：）

11，積分弱連續性，設在上非負遞減可積，且在上幾乎處處成立，則．（注：逆命題不成立）

12．，則在中可積．

13．（積分變量的平移變換），則對任意的，且有

．

14．（黎曼-勒貝格引理的推廣） 若是上的可測函數列且滿足

15．  2，對任意的有

則對任意的，有．

§2-4黎曼積分函數類與勒貝格積分函數類

積分函數類：

1．若為上的連續函數，則在上可積．

2．若是上只有有限個間斷點的有界函數，則在上可積．

3．若是上只有有限個第一類間斷點的函數，則在上可積

4．若是上的單調函數，則在上可積．

5．設在上有界，且，若在上只有為間斷點，則在上可積．

積分函數類：可積的有界函數均是可積的．

§2-5與黎曼積分和勒貝格積分相關的一些定理的比較

關于積分的定理有：積分的第一中值定理：若在上連續，則在上至少存在一點， 使得．

推廣的積分的第一中值定理：若在閉區間上連續，且在上不變號，則在上至少存在一點，使得．

積分第二中值定理：若在上為非負的單調遞減函數，是可積的，則．

推論1，若在上且單增，是可積的，則．

推論2，若在上為單調函數，是可積的，則

．

關于積分的相關定理：關于積分的最大成功之處在于討論積分與極限交換問題時將會看到著問題在積分范圍內得到比在積分范圍內遠為圓滿的解決．如，設為測度空間，，在上幾乎處處成立，我們可知從的可測性可以推出它的極限函數的可測性，但能否從呢？先看下述例子．

例1  設，令，且，有

，

因為．，但在不是可積的．

例2  設，但．

上述兩例說明，當，從 不一定能推出 ，即使 也不一定能保證極限符號與積分號能交換次序，我們在微積分中熟知當  時，也不能保證它的極限函數 ，往往要加上 在上一致收斂于的苛刻條件，對于積分，并不要求 一致收斂于，所加條件弱得多．當討論一般可積函數的情形時，有勒貝格控制收斂定理：設（1）是可測集上的可測函數列．（2）在上幾乎處處成立，且在上可積．（3），則在上可積且．

注：（一） 若將條件（3）改為在上幾乎處處成立，定理結論仍成立．

（二） 設，若將條件（2）改為（常數），若在上幾乎處處成立或，定理結論仍成立．

再看非負可測函數類有：列維定理：設為可測集上的一列非負可測函數，且在上有（單調列），令，則．

逐項積分定理：設，若有，則在上幾乎處處收斂，若記和函數為，則，且有．

積分號下求導定理：設是定義在上的函數，它作為的函數在上可積，作為的函數在上可微，若存在，使得，則

．

通過以上定理我們可以發現在極限運算與()積分運算交換次序時，只須滿足存在一個控制函數g或滿足單調即可．這些條件與一致收斂條件相比弱得多，在這樣的條件下，極限與積分運算，微分與積分運算，積分與積分運算很容易交換次序．而在積分中有界收斂定理為：

（1）是定義在上的可積函數．

（2）

(3)是定義在上的可積函數，且有．則有

這里不僅受到條件（2）的限制，而且還必須假設極限函數的可積性，它只是控制收斂定理的一個特例

第三章 實例

例1：求

解，

又 

所以，又因為在上可積，

由控制收斂定理可知，=0．

而在R積分中要證明在上一致收斂是很麻煩的．

例2：設，，求證：．

      證：當時，，

當時，，且有，所以

  ．

由黎曼積分與勒貝格積分的關系和控制收斂定理可得

．

例3：設，證明：，但在上廣義可積．

        證：由收斂，但發散可立得結論．

                     

第四章 總結和展望

§4-1本文總結

總結積分和積分的區別和聯系如下：

在積分中我們定義了，分別為的上，下積分．可以得到：

引理：設是上的有界函數，記是在上的振幅函數，則有

     ．（左端為在上的積分）

定理1：設是上的有界函數，則在上可積的充要條件為在上

的不連續點集是零測度集．

定理2：若在上可積，則在上必可積，且積分值相等．

上述所說的只是上有界函數的積分，對于無界函數的瑕積分以及無窮區間上的反常積分，情況就不同了，而積分是一種絕對收斂積分，但有定理：設是遞增可測函數列，其并集為且

，若，則，且有

．

特別地，當時，且在每個上都可積以及存在，則可通過計算積分而得到積分且有．

在測度積分理論下：

（1）微積分定理的使用范圍擴大了，勒貝格提出當有界時，證明微積分定理的困難不大，但在是有限值且無界的情形時，只要是可積的，基本定理仍成立．他通過對導數幾乎處處為零但函數本身并非常數的函數的考察，認識到在積分的意義下，任何絕對連續函數都可積的結論是正確的．因此在定理中只須滿足在上的絕對連續函數，則．

（2） 在進行重積分運算時，重積分化為累次積分的條件減弱了，在積分理論下，要求重積分和倆個累次積分都存在時才相等．但在積分理論下，只須可測且有一個累次積分存在即可．

（3） 積分的幾何意義也推廣開來，將積分中曲邊梯形面積推廣為在上的下方圖形集的測度．

（4）在關于二重積分和累次積分的關系問題上，積分反映出了它的不足之處，特別是把積分推廣于無界函數的情形時，對此，勒貝格的重積分理論，使得用累次積分來計算二重積分函數范圍擴大了，也就有了前面所述的富比尼定理．

（5）積分理論作為分析學中的一個有效的工具，尤其是在三角級數問題中，得到了廣泛的應用，吸引了許多數學家的興趣．

我們前面都提到積分是積分的推廣，但要注意它并非是反常積分的推廣，但對于非負有限函數的R反常積分有下述結果：

設是上非負有限函數，且，如果在上的反常積分存在，則在上可積，且成立．上述定理要求非負是很重要的．如在反常積分理論中，無窮積分，而在積分理論中，故在上不是可積的．這說明積分仍有它的不足之處，還有在微積分基本定理中，仍須在上可積，致使換元公式的證明很復雜．

§4-2  展望

二十世紀初勒貝格開創可列可加測度的積分論，稱為實分析．并在概率論，泛函分析學科中廣泛應用，理論讓人感到過于抽象，但抽象性較強的理論往往適用程度較高，在此基礎上的概率論和隨機過程論被稱為現代分析．復變函數論繼續向前發展形成復分析．以函數空間為背景的泛函和算子理論，開始泛函分析的歷程，三角級數論發展成傅立葉分析，二十世紀分析學的另一特征是處理高維空間中曲線和曲面，多變量函數的整體性質，這需要拓撲學知識及代數工具，形成流型上的分析．二十世紀的分析基本上解決了線性空間上的線性算子課題，目前非線性分析已成為最活躍的數學分支之一．

泛函分析的產生使分析學躍上新的高度，稀爾伯特空間，巴拿赫空間，廣義函數論已成為數學家和物理學家的常識，無限維空間上的微積分學尚未誕生，此外，積分論仍在發展，黎曼積分的推廣仍未完成．

雖然，積分比積分具有許多的優越性，但隨著函數論等各門學科的發展，積分也暴露出了一定的局限性，因此，積分理論有待進一步發展．

        

參考文

[1]華師大數學系．《數學分析》（第三版）［Ｍ］．高等教育出版社，2001年．

[2]中科大高數教研室編著《高等數學導論》[M]．中國科學技術大學出版社，1996年．

[3] 張筑生編著．《數學分析新講》[M]．北京大學出版社，1991年．

[4] 匡繼昌編著．《實分析引論》  [M]．湖南教育出版社，1996年．

[5] 程其襄編著．《實變函數和泛函分析基礎(第二版)》[M]．高等教育出版社，1983年．

[6] 周民強編著．《實變函數論》[M]．北京大學出版社，2001年．

[7] 趙煥光編著．《實變函數》[M]．四川大學出版社，2004年．

[8] 周民強編著  《數學分析（第二冊）》[M] 上海科學技術出版社，2003年．

[9] 周成林．《勒貝格積分與黎曼積分的區別與聯系》[J]．《新鄉教育學報》． 

[10] 齊民友．《積分發展看微積分教學（續一）》[J]．《高等數學研究》

致　謝

本文的研究及工作是在優秀導師項明寅副教授的關懷和悉心指導下完成的．在三年多的求學生涯中，導師以其嚴謹、求實的治學態度，敏銳深邃的洞察力，高度的責任心和敬業精神，平易近人的工作作風，一直深深地影響和激勵著我，使我在學習上和生活上受益匪淺．

感謝汪宏建副教授在學習和工作中的教導和支持，從他身上我獲得了許多寶貴的知識和經驗，同時也學到了更多為人處事的道理和做科研的一種執著精神．

在課題的研究過程中，得到了張同學的幫助，支持和指點，在此表示衷心的感謝．

最后衷心的感謝對我寄予厚望、又給予我無限關懷的父母，在此論文脫稿之際，向含辛茹苦在背后支持我的父母表示由衷的感謝和崇高的敬意．