感應電機仿真與建模(三)

圖2：三相感應電動機的物理模型

感應電動機的動態模型由磁鏈方程、電壓方程、轉矩方程和運動方程組成。其中，磁鏈方程和轉矩方程為代數方程，電壓方程和運動方程為微分方程。

（1）磁鏈方程

感應電動機每個繞組的磁鏈是它本身的自感磁鏈和其它繞組對它的互感磁鏈之和，因此，六個繞組的磁鏈可用下式表示：

式中，L是6×s6電感矩陣，其中對角線元素LAA、LBB、LCC、Laa、Lbb、Lcc是各有關繞組的自感，其余各項則是繞組間的互感。

（2）電壓方程

三相定子的電壓方程可表示為：

u A =iARs+dψA/dt

u B =iBRs+dψB/dt

u C =iCRs+dψC/dt

方程中，UA、UB、UC為定子三相電壓；iA、iB、iC為定子三相電流；ΨA、ΨB、ΨC為定子三相繞組磁鏈；Rs為定子各相繞組電阻。

三相轉子繞組折算到定子側后的電壓方程為：

u a =iaRΥ+dψa/dt

u b =ibRΥ+dψb/dt

u c =icRΥ+dψc/dt

(3)電磁轉矩方程

TM=CM1ΦmI2′COSφ2′

式中，Φm為主磁通，I2為電流。

(4)運動方程

Te-Tl=J/np*dω/dt

式中，Te為電磁轉矩；Tl為負載轉矩；ω為電機機械角速度；J為轉動慣量。

3.2坐標變換

3.2.1坐標變換的基本思路

感應電動機三相原始動態模型相當復雜，簡化的基本方法就是坐標變換。感應電動機數學模型之所以復雜，是因為有一個復雜的電感矩陣和轉矩方程，它們體現了感應電動機的電磁耦合和能量轉換的復雜關系。要簡化數學模型，須從電磁耦合關系入手。

3.2.2三相-兩相變換（3/2變換）

三相繞組A、B、C和兩相繞組之間的變換，稱作三相坐標系和兩相正交坐標系間的變換，簡稱3/2變換。

圖3：三相坐標系和兩相正交坐標系中的磁動勢矢量

ABC和兩個坐標系中的磁動勢矢量，將兩個坐標系原點重合，并使A軸和a軸重合。按照磁動勢相等的等效原則，三相合成磁動勢與兩相合成磁動勢相等，故兩繞組磁動勢在αβ軸上的投影應相等，因此 

寫成矩陣形式 

按照變換前后總功率不變，匝數比為                                                                      

則三相坐標系變換到兩相正交坐標系的變換矩陣為：

兩相正交坐標系變換到三相坐標系（簡稱2/3變換）的變換矩陣為：

3.2.3 靜止兩相-旋轉正交變換（2s/2r變換）

從靜止兩相正交坐標系αβ到旋轉正交坐標系dq的變換，稱作靜止兩相-旋轉正交變換，簡稱2s/2r變換，其中s表示靜止，r表示旋轉，變換的原則同樣是產生的磁動勢相等。

圖4:靜止兩相正交坐標系和旋轉正交坐標系中的磁動勢矢量

旋轉正交變換矩陣為：

靜止兩相正交坐標系到旋轉正交坐標系的變換矩陣為：

旋轉正交坐標系到靜止兩相正交坐標系的變換矩陣為：

                                                             

3.3狀態方程

旋轉正交坐標系上的感應電動機具有4階電壓方程和1階運動方程，因此須選取5個狀態變量。可選的狀態變量共有9個，這9個變量分為5組：①轉速；②定子電流；③轉子電流；④定子磁鏈；⑤轉子磁鏈。轉速作為輸出變量必須選取。其余的4組變量可以任意選取兩組，定子電流可以直接檢測，應當選為狀態變量。剩下的3組均不可直接檢測或檢測十分困難，考慮到磁鏈對電動機的運行很重要，可以選定子磁鏈或轉子磁鏈。

 以為狀態變量在坐標系中的狀態方程:

（1）選取狀態變量:

(2)輸入變量:

(3)輸出變量:

(4)坐標系中的磁鏈方程:

Ψsa=Lsisa+Lmira

Ψsβ=Lsisβ+Lmirβ

Ψra=Lmisa+Lrira

Ψrβ=Lmisβ+Lrirβ

考慮到轉子內部是短路的，所以電壓方程為:

dΨsa/dt=-Rsisa+usa

dΨsβ/dt =-Rsisβ+usβ

dΨra/dt=-Rrira+ωΨrβ

dΨrβ/dt =-Rrirβ+ωΨra

由此可得出：

所以轉矩方程:

Te=npLm(isβΨra-isaΨrβ)/Lr

狀態方程：其中為電動機漏磁系數， σ=1-Lm2/LsLγ

所以感應電動機在坐標系中，以為狀態變量的動態結構圖如圖5示，搭建的仿真模型如圖6所示：

圖5：感應電機動態結構圖

:

圖6：搭建仿真模型