關于食油生產(chǎn)問題的模型

關于食油生產(chǎn)問題的模型

摘要

 在這篇論文中，分析了關于如何安排生產(chǎn)中各事項以實現(xiàn)總利潤最大化的問題。在問題一中考慮各個約束條件建立了線性規(guī)劃模型，用LINGO軟件編程求解出最優(yōu)生產(chǎn)安排，最優(yōu)解為最大利潤238231.5元，其中生產(chǎn)量為540000元，購買原料油的成本費用為247035元，存儲費用為54733.8元。問題二中我們利用一中的模型，隨著價格的增加公司利潤減少，最后趨于平穩(wěn)。在問題三中加入了新的約束條件，我們通過添加了相應的0-1變量將它們附加到了原來的模型中再次求解，得出最優(yōu)解最大利潤218976.9元，其中生產(chǎn)量為503999.996元，購買原料油的成本費用為228346元，存儲費用為56676.85元。
 最后，給出了相應的靈敏度分析，分析了各個變量和約束條件對目標函數(shù)的影響。

問題的提出
 食油廠通過精煉兩種硬質原料油和軟質原料油，得到一種食油，以下簡稱產(chǎn)品油。硬質原料油來自兩個產(chǎn)地: 產(chǎn)地1和產(chǎn)地2，而軟質原料油來自另外三個產(chǎn)地: 產(chǎn)地3， 產(chǎn)地4 和產(chǎn)地5。據(jù)預測，這5種原料油的價格從一至六月分別為下表所示, 產(chǎn)品油售價200元/噸 。
 硬質油和軟質油需要由不同生產(chǎn)線來精煉。硬質油生產(chǎn)線每月最大處理能力為200噸，軟質油生產(chǎn)線最大處理能力為250噸/月。五種原料油都備有貯罐, 每個貯罐容量均為1000噸, 每噸原料每月存貯費用為5元。而各種精制油以及產(chǎn)品無油罐可存貯，精煉的加工費用可略去不計，產(chǎn)品銷售沒有任何問題。
 產(chǎn)品油的硬度有一定的技術要求，它取決于各種原料油的硬度以及混合比 例。 產(chǎn)品油的硬度與各種成份的硬度以及所占比例成線性關系。根據(jù)技術要求, 產(chǎn)品油的硬度必須不小于3.0而不大于6.0。硬質1、硬質2、軟質3、軟質4、軟質 5等各種原料油的硬度為：8.8，6.1，2.0，4.2，5.0，其中硬度單位是無量綱的, 并且這里假定精制過程不會影響硬度。
 假設在一月初, 每種原料油有500噸存貯而要求在六月底仍保持同樣貯備。
 (1) 根據(jù)下表 預測的原料油價格, 編制逐月各種原料油采購量、耗用量及庫存量計劃, 使本年內的利潤最大。
 (2) 考慮原料油價格上漲對利潤的影響。據(jù)市場預測分析, 若二月份硬質原料油價格比表中的數(shù)字上漲%，則軟質油在二月份的價格將比表中的數(shù)字上漲2%。 相應地三月份硬質原料油將上漲2%，軟質原料油將上漲4%, 依此類推至六月份。試分析從1到20的各種情況下, 利潤將如何變化?
(3) 附加以下3個條件后, 再求解上面的問題:
 ① 每一個月所用的原料油不多于三種。
  ② 若在某一個月用一種原料油, 那么這種油不能少于20噸 。
  ③ 若在一個月中用硬質油1或硬質油2, 則這個月就必須用軟質5。
 
 
 

 原料油的價格(元/噸)
  硬質1 硬質2 軟質3 軟質4 軟質5
一月  110 120 130 110 115
二月 130 130 110  90 115
三月 110 140 130 100  95
四月 120 110 120 120 125
五月 100 120 150 110 105
六月  90 110 140  80 135
 
模型的分析
 從題目我們可以看出這是一個，這是一個關于如何安排采購，生產(chǎn)和存儲而使利潤最大化的問題。公司的利潤要受到三個因素的制約，一是購買每一種原料油的費用，二是成品油的銷售費，三是沒有煉制的原料油的存儲費。購買原料油的成本費與購買每一種原料油的數(shù)量和每一種原料油的價格有關系，應該是價格高的原料盡量少購買，價格低的原料多購買。由于銷售成品油的銷售額的價格恒定不變?yōu)?00（元/噸），所以銷售額只與成品油的產(chǎn)量有線性關系，因此盡可能增加成品油的產(chǎn)量，以增加銷售額。要想增加成品油的產(chǎn)量就必須增加每一種原料油的購買量，這樣又會引起成本的增加，還有生產(chǎn)能力的限制，因此這是矛盾的，但是在這過程中一定存在一個最優(yōu)的方案使得這兩個目標最大。存儲費用與存儲原料油總數(shù)量存在一種線性關系，存儲原料油的數(shù)量越少存儲費用越少，盡量保證存儲的原料油總量少，相應的購買的原料油的量應該盡量少。這三個因素是互相影響的，既是矛盾的又是聯(lián)系的。因此我們考慮建立線性規(guī)劃的模型來解決這個問題。

模型的基本假設

假設每月月初購買原料油；
假設每月的庫存量為月底生產(chǎn)完后的剩余量；
假設煉制過程沒有質量損失；
假設每月沒用的原料油到下個月時都是存滿一個月的；
假設生產(chǎn)出的食油均能在當月賣出；
假設第六個月的庫存費用算入前半年的費用支出里。

模型符號

在第i月第j類油的購買量（噸）;
在第i月第j類油的耗用量（噸）；
在第i月第j類油的庫存量（噸）；
第i月第j類油的單價（元/噸）；

模型的建立與求解

問題一：
針對問題一建立關于它的線性規(guī)劃模型，目標函數(shù)是利潤的最大化。
利潤=生產(chǎn)銷售額（200）-購買原料油的成本費（）-存儲費（）
目標函數(shù)：
約束條件：
硬質原料生產(chǎn)約束：
軟質原料生產(chǎn)約束：
硬度限制：
存儲量限制：
連續(xù)約束（生產(chǎn)，購買，庫存之間的關系）：
      
非負性：

我們根據(jù)以上分析建立的線性規(guī)劃模型，運用lingo軟件編程（程序和運算結果見附錄1）求解，得到了問題的最優(yōu)解，公司的最大利潤為238231.5元，其中生產(chǎn)量為540000元，購買原料油的成本費用為247035元，存儲費用為54733.8元。具體的采購，生產(chǎn)和庫存方案下表。

月份 原料油 購買量(噸) 對目標函數(shù)值的影響(元/噸) 生產(chǎn)量（噸） 對目標函數(shù)值的影響(元/噸) 庫存量(噸) 對目標函數(shù)值的影響(元/噸)
一月 硬質1 0.000000 25.00000 96.29630 0.000000 403.7037 0.000000
 硬質2 0.000000 35.00000 103.7037 0.000000 396.2963 0.000000
 軟質3 0.000000 25.00000 0.000000 20.00000 500.0000 0.000000
 軟質4 0.000000 25.00000 37.50000 0.000000 462.5000 0.000000
 軟質5 0.000000 30.00000 212.5000 0.000000 287.5000 0.000000
二月 硬質1 0.000000 40.00000 159.2593 0.000000 244.4444 0.000000
 硬質2 0.000000 40.00000 40.74074 0.000000 355.5556 0.000000
 軟質3 0.000000 0.000000 0.000000 20.00000 500.0000 0.000000
 軟質4 287.50000 0.000000 250.0000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質5 0.000000 25.00000 0.000000 0.000000 287.5000 0.000000
三月 硬質1 0.000000 15.00000 85.18579 0.000000 159.2593 0.000000
 硬質2 0.000000 45.00000 114.8148 0.000000 240.7407 0.000000
 軟質3 0.000000 15.00000 0.000000 20.00000 500.0000 0.000000
 軟質4 0.000000 5.000000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質5 462.50000 0.000000 250.0000 0.000000 500.0000 0.000000
四月 硬質1 0.000000 20.00000 159.2593 0.000000 0.000000 5.000000
 硬質2 0.000000  000 40.74074 0.000000 200.0000 0.000000
 軟質3 0.000000 0.000000 0.000000 20.00000 500.0000 0.000000
 軟質4 0.000000 20.00000 250.0000 0.000000 250.0000 0.000000
 軟質5 0.000000 25.00000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
五月 硬質1 159.2593 0.000000 159.2593 0.000000 0.000000 15.00000
 硬質2 0.000000 15.00000 40.74074 0.000000 159.2593 0.000000
 軟質3 0.000000 25.00000 0.000000 15.92593 500.0000 0.000000
 軟質4 0.000000 5.000000 250.0000 0.000000 0.000000 30.00000
 軟質5 0.000000 0.000000 0.000000 1.481481 500.0000 0.000000
六月 硬質1 659.2593 0.000000 159.2593 0.000000 500.0000 0.000000
 硬質2 381.4815 0.000000 40.74074 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質3 0.000000  000 0.000000 33.70370 500.0000 0.000000
 軟質4 750.0000 0.000000 250.0000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質5 0.000000 25.00000 0.000000 35.92593 500.0000 0.000000

問題二：
現(xiàn)在我們考慮當原料油價格上漲時最優(yōu)生產(chǎn)方案的變化和最大利潤的變化。由題意可得以下的價格上漲趨向：
月份 1 2 3 4 5 6
硬質油(x%) 1 1 2 3 4 5
軟質油(x%) 1 2 4 6 8 10
由此我們可得價格變化矩陣：，變化后的價格為：

 我們看x取從1到20各個數(shù)時變化的二十個新的價格矩陣，并代入原來的線性規(guī)劃模型中求解，同樣用LINGO求解。得到二十個模型的最優(yōu)解如下表：（由于數(shù)據(jù)很多在這里我們只關注最優(yōu)值的變化，所以沒有附上全部數(shù)據(jù)）
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
利潤(元) 225179 212127 199075 186024 173809 163767 153798 145707 140141 134824
x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
利潤(元) 132357 129890 127942 126292 125842 125392 124942 124492 124042 123592

用Mathematica數(shù)學軟件作出最大利潤隨價格漲幅的變化曲線圖，見下圖。

 從圖中不難發(fā)現(xiàn)，在x=8之前，最大利潤隨x的增大而基本呈線性的減小，而在x>8仍然在減小但是減幅開始減小，最后曲線趨于平坦。通過進一步的分析可知道，當x增達到一定程度時，從二月開始許多原料油價格將超過成品油價格，因此在這時公司肯定會避免購買這些原料油而是盡量購買較為便宜的原料以供繼續(xù)生產(chǎn)，這樣才可以保證虧損額不至于繼續(xù)增加，當x繼續(xù)增大時（x>20），二月份以后的所有原料油價格均將超過成品油價格，只有第一個月份的油價保持不變，小于成品油價格，因此公司只會在一月采購一些原料油以供生產(chǎn)來減少虧損額，這樣公司生產(chǎn)方案就會固定下來，從而最大利潤也固定下來。通過計算可知，當x≥25時，公司所能得到的最大利潤穩(wěn)定一定的值不再繼續(xù)減少。另外還可發(fā)現(xiàn)，在0-8之間公司的最大利潤與x簡單的成線性關系，因此在這斷區(qū)間上可以擬合出一條直線用于計算x在0－8之間變動時的最大利潤而不必再將x帶入程序計算，從而簡化計算。

問題三：
 在這一問中我們考慮對食油生產(chǎn)中附加新的條件后的求解：
在配料中限制成分的數(shù)目：每一個月所用的原料油不多于三種。
不考慮某種小量的成分：若在某一個月用一種原料油, 那么這種油不能少于20噸 。
把“邏輯條件”加在各成分的混合物上：若在一個月中用硬質油1或硬質油2, 則這個月就必須用軟質5。

我們考慮通過添加0-1變量來附加這些額外的條件，在這里我們設
       
這樣我們就可一建立新的線性規(guī)劃模型如下：
目標函數(shù)：
約束條件：
硬質原料生產(chǎn)約束：
軟質原料生產(chǎn)約束：
硬度限制：
存儲量限制：
連續(xù)約束（生產(chǎn)，購買，庫存之間的關系）：
      
每一個月所用的原料油不多于三種：
使用的原料油不能少于20噸及生產(chǎn)的上限：
 ，    
若在一個月中用硬質油1或硬質油2, 則這個月就必須用軟質5：
非負性：

 我們根據(jù)以上分析建立的線性規(guī)劃模型，再次運用lingo軟件編程（程序和運算結果見附錄2）求解，得到了問題的最優(yōu)解，公司的最大利潤為 218976.9元，其中生產(chǎn)量為503999.996元，購買原料油的成本費用為228346元，存儲費用為56676.85元。具體的采購，生產(chǎn)和庫存方案下表。

月份 原料油 購買量(噸) 對目標函數(shù)值的影響(元/噸) 生產(chǎn)量（噸） 對目標函數(shù)值的影響(元/噸) 庫存量(噸) 對目標函數(shù)值的影響(元/噸)
一月 硬質1 0.000000 30.00000 155.0000 0.000000 345.0000 0.000000
 硬質2 0.000000 35.00000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質3 0.000000 163.9714 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質4 0.000000 25.00000 230.0000 0.000000 270.0000 0.000000
 軟質5 0.000000 30.00000 20.00000 0.000000 480.0000 0.000000
二月 硬質1 0.000000 45.00000 155.0000 0.000000 190.0000 0.000000
 硬質2 0.000000 40.00000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質3 0.000000 138.9714 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質4 190.00000 0.000000 230.0000 0.000000 230.0000 0.000000
 軟質5 0.000000 25.00000 20.00000 0.000000 460.0000 0.000000
三月 硬質1 0.000000 20.00000 85.18519 0.000000 104.8148 0.000000
 硬質2 0.000000 45.00000 114.8148 0.000000 385.1852 0.000000
 軟質3 0.000000 153.9714 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質4 0.000000 5.000000 0.000000 198.5185 230.0000 0.000000
 軟質5 580.00000 0.000000 250.0000 0.000000 790.0000 0.000000
四月 硬質1 0.000000 25.00000 85.18519 0.000000 19.62963 0.000000
 硬質2 0.000000  000 114.8148 0.000000 270.3704 0.000000
 軟質3 0.000000 138.9714 0.000000 75.47302 500.0000 0.000000
 軟質4 0.000000 20.00000 250.0000 0.000000 230.0000 0.000000
 軟質5 0.000000 25.00000 0.000000 0.000000 540.0000 0.000000
五月 硬質1 135.3704             0.000000 155.0000 0.000000 0.000000 15.00000
 硬質2 0.000000 15.00000 0.000000 0.000000 270.3704 0.000000
 軟質3 0.000000 163.9714 0.000000 2.457144 500.0000 0.000000
 軟質4 0.000000 5.000000 230.0000 0.000000 0.000000 30.00000
 軟質5 0.000000 0.000000 20.00000 0.000000 520.0000 0.000000
六月 硬質1 655.0000 0.000000 155.0000 0.000000 500.0000 0.000000
 硬質2 229.6296 0.000000 0.000000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質3 0.000000 148.9714 0.000000 24.60000 500.0000 0.000000
 軟質4 730.0000 0.000000 230.0000 0.000000 500.0000 0.000000
 軟質5 0.000000 25.00000 20.00000 0.000000 500.0000 0.000000

模型的靈敏度分析

 現(xiàn)在我們對模型的靈敏度進行分析，對問題一的求解中我們得到了相關的靈敏度分析的數(shù)據(jù)，即為表中對對目標函數(shù)值的影響欄。從表中可以看出：
二月份的第三、四種，三月份第五種、四月份第三種、五月份第一、五種、六月份第一、二、四種原料油的購買量對公司的總利潤無影響，其他月份的其它類別的原料油購買量的增加將會導致公司總利潤減少，實際上就沒有購買這些原料油。而這些無影響的原料油中除了二月份的第三種，四月份的第三種和五月份第五種原料油沒有購買外，其他的原料油均購買了。我們還可以發(fā)現(xiàn)購買的時間在后兩個月，這可能是原來存儲的原料油在前幾個月內夠用，在后兩個月買是為了減少存儲費用。另外，我們發(fā)現(xiàn)單價低的原料油購買的量就較多；
同樣可以看生產(chǎn)，庫存對總利潤的影響，也均是將會導致公司總利潤減少的不生產(chǎn)或不存儲；
下面我們再利用對偶價格的理論對問題一進行分析（對偶價格見附錄1），從結果中可以發(fā)現(xiàn)第2—13行的值不為零，其值從94到133不等，這是約束條件“每個月最多可煉硬質油200噸，軟質油250噸”所引起的，即當約束條件“每個月最多可煉植物油201噸，非植物油251噸”時，公司的總利潤將增加110+105+100+94+89+115+110+105+100+98+133=1159元，如果約束條件增大10噸時，即每個月最多可煉植物油210噸或者非植物油260噸，則公司的總利潤將增加1.159萬元；硬度的變化對總利潤的影響很微小;庫存量也應要盡量減少。
 同樣的原理我們可以對問題三進行分析。從上面的分析得到下面的結論：從長遠的考慮，要從根本上增加公司的總利潤，應該擴大公司的規(guī)摸，提高生產(chǎn)的能力。

參考文獻

運籌學課本和課堂筆記