內積空間與二次型

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內積空間與二次型
【摘要】事實上，一個向量空間上具有一個內積，即Hilbert空間，與一個向量空間上定義一個距離是等價的，利用向量的平行四邊形法則可以證明二者的等價性。高等代數中，有關有限維向量空間上的二次型問題正是研究不同的內積形式的空間的等價性。通過各個教學環節逐步培養學生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力，還要特別注意培養學生具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學知識去分析和解決問題的能力。
【關鍵詞】內積空間  二次型  線形函數
一、引入
設P是一個非空集合，若P上有兩個代數運算，一個記為加法＋，一個記為乘法×（或，或省略不計），如果P關于＋構成交換群，而且P出去加法的零元關于×也構成交換群，加法和乘法滿足左右分配律，那么P關于給定的加法和乘法構成域（2）。例如：有理數；實數域；復數域等。線性空間是一個代數和集合基本的數學結構。一般而言，稱V是一個域P的線性空間，如果存在一個P中元素與V中元素的純量乘法，V關于V上的一個加法構成V上的一個交換群，這個純量乘法和V上的向量加法要滿足一些運算法則（3）；線性空間也被