凸函數幾個定義的討論及應用

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凸函數幾個定義的討論及應用
[摘要]：本文給出了凸函數的六種形式的定義，并討論了這些定義之間的關系及在證明不等式中的應用
[關鍵詞]：凸函數   等價   應用
[引言]：凸函數的重要性及其應用價值已為大家所熟知，但是許多教科書及參考書給出的凸函數的定義不盡相同，給我們的學習帶來了不便。為此我總結了六種凸函數的定義，并隊它們之間的關系進行了必要的討論和研究。
定義1：設函數在上有定義，若曲線上任意兩點間的弧段總位于連接兩點的弦上，則稱是區間上的凸函數。
定義2：設函數在上有意義，且對于任意
有
                   （1）
成立，則稱是區間上的凸函數。
定義3：設函數在上有定義對于任意，若
       （2）
成立，則稱數為上的凸函數。
定義4：設函數數在上有定義，則稱數為內上凸，如果對于任意
及且有
定義5：設函數數在上有定義，若對于一切，且不全為零，，有
 
則稱是上的凸函數。
定義6：設函數在上有定義，若對于任意的有
 
則稱是上的凸函數。
下面我們來討論上述六種定義之間的關系。
證明定義1與定義2是等價的。
設是曲線上的任意兩點，過這兩點的直線方程為
曲線上的任意兩點間的弧段總位于連接著兩點的弦之上是公式的幾何意義，所以定義1與定義2等價
證明定義2與定義3是等價的
過曲線上的點的直線段的參數方程為
 
為內任意一點，將及上式代入（1）式即得（2）式，代入（2）式即得（1）式.因此定義2與定義3等價。
因為定義4是定義3的推廣，所以易知定義3與定義4是等價的。
由于定義5是定義4的特例，故定義5是定義4的推廣，
以下是用數學歸納法證明定義4可以推出定義5
因為時，即為
顯然成立。
假設時成立，
即對任意有

證明成立，即對
有取
則有
利用及 
 
 即是結論成立，故定義4可以推出定義5。

下面證明定義4與定義5等價
在中設，則得
 
故定義4可以推出定義5，
下面再證明定義2與定義6等價。
由于