論非歐幾何與歐式幾何之別

論非歐幾何與歐式幾何之別
[摘要] 歐式幾何是在公元前3世紀(jì)由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德，總結(jié)前人的公認(rèn)的幾何定理加以推導(dǎo)而建立的，其在數(shù)學(xué)發(fā)展史中具有重要意義。在其后人的不斷論證其第五公設(shè)成立的可行性中又創(chuàng)建了非歐式幾何。非歐式幾何以羅氏幾何為主，其包含公理除平行公理外，其他公里均與歐式幾何相同。通過對(duì)比在雙曲幾何的Riemann模型中，討論測(cè)地線和測(cè)地圓周的幾何性質(zhì)，與歐氏空間中的直線和圓周的幾何性質(zhì)進(jìn)行比較，最終闡明非歐幾何與歐氏幾何的內(nèi)在差別。
[關(guān)鍵詞] 雙曲幾何 測(cè)地線  測(cè)地圓周  歐式幾何  非歐式幾何
 一：歐式幾何發(fā)展及其內(nèi)部性質(zhì)
 1.1歐式幾何的建立
 歐氏幾何是歐幾里德幾何學(xué)的簡(jiǎn)稱，是幾何學(xué)的一門分科。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得把人們公認(rèn)的一些幾何知識(shí)作為定義和公理，在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，推導(dǎo)出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。這本書的問世，標(biāo)志著歐氏幾何學(xué)的建立。這部科學(xué)著作的問世是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史上意義極其深遠(yuǎn)的大事，也是整個(gè)人類文明史上的里程碑。兩千多年來，這部著作在幾何教學(xué)中一直占據(jù)著統(tǒng)治地位。
 1.2歐式幾何的特點(diǎn)及其核心
 在其歐式幾何公理體系中，最重要的是平行公理，由于對(duì)這一公理的不同認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致非歐幾何的產(chǎn)生。按所討論的圖形在平面上或空間中，分別稱為“平面幾何”與“立體幾何”。
 平行公理,也就是第五公設(shè),是由歐幾里德確定的,即經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線直線與已知直線平行”它與三角形內(nèi)角和等于180度等價(jià).但這已經(jīng)是有直線平行的概念了
 n維非歐幾何里的直線在n+1維歐氏空間里的看是彎的(被稱為外曲率),如球面(是二維面)上的短程線(即直線)周長在三維空間里看就是彎曲的
     n維非歐幾何里的線/面表現(xiàn)出不同于n維歐氏空間的性質(zhì)決定于該空間的彎曲性(被稱為內(nèi)曲率),是通過一矢量繞閉合曲線平移后的變化定義的(變化為零即為維歐氏空間),該變化量與三角形內(nèi)角和直接相關(guān)
 1.3歐式空間的概念
 歐幾里德空間(Euclidean Space)，簡(jiǎn)稱為歐氏空間，在數(shù)學(xué)中是對(duì)歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化。這個(gè)一般化把歐幾里德對(duì)于距離、以及相關(guān)的概念長度和角度，轉(zhuǎn)換成任意數(shù)維的坐標(biāo)系。
 
 二：非歐式幾何的發(fā)展及其內(nèi)容
 2.1非歐式幾何的建立
 非歐式幾何學(xué)是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學(xué)不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。
 2.2非歐式幾何的發(fā)展及其內(nèi)容
 俄國喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明科學(xué)界長期不能得證的第五公設(shè)的過程中，他走了另一條路子。他運(yùn)用反證法提出了一個(gè)和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設(shè)，然后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。
     但是，在他極為細(xì)致深入的推理過程中，得出了一個(gè)又一個(gè)在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論：
     第一，第五公設(shè)不能被證明。
     第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。
 這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱羅氏幾何。這是第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)。
 2.3羅氏幾何的特點(diǎn)
 羅氏幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐式幾何學(xué)不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經(jīng)過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。
     我們知道，羅氏幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅氏幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。
 三：雙曲幾何
 3.1雙曲幾何的概念
 雙曲幾何又名羅氏幾何，是非歐幾里德幾何的一種特例，專門研究當(dāng)平面變成鞍馬型之後，平面幾何倒底還有幾多可以適用，以及會(huì)有甚么特別的現(xiàn)象產(chǎn)生。在雙曲幾何的環(huán)境里，平面的曲率是負(fù)數(shù)。
 3.2雙曲幾何中的數(shù)學(xué)模型
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 四：測(cè)地線與測(cè)地圓周
 4.1測(cè)地線的的含義
  測(cè)地線：又稱大地線或短程線，數(shù)學(xué)上可視作直線在彎曲空間中的推廣；在有度規(guī)定義存在之時(shí)，測(cè)地線可以定義為空間中兩點(diǎn)的局域最短路徑。測(cè)地線是歐氏空間中直線的自然推廣, 它具有很多跟直線類似的性質(zhì).
 4.2測(cè)地圓周的含義
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4.3測(cè)地線，測(cè)地圓周在Riemann模型下的性質(zhì)
 4.3.1黎曼幾何是德國數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)》中明確的提出另一種幾何學(xué)的存在，開創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。
    黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。
     4.3.2
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 五：結(jié)論：
通過以上論述比較可以看出歐式幾何與非歐式幾何有著以下明顯的內(nèi)在差異：
 1：歐式幾何方面：
 
     ①同一直線的垂線和斜線相交。
 
     ②垂直于同一直線的兩條直線或向平行。
 
     ③存在相似的多邊形。
 
     ④過不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。
 
     2：非歐式幾何（羅氏幾何）
 
     ①同一直線的垂線和斜線不一定相交。
 
     ②垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長的時(shí)候，離散到無窮。
 
     ③不存在相似的多邊形。
 
     ④過不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。
     六：參考文獻(xiàn)