淺談數(shù)學(xué)建模在能力培養(yǎng)中的作用

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    市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展給高等學(xué)校的人才培養(yǎng)模式帶來(lái)了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)。21 世紀(jì)需要什么樣的人才呢? 我們的教學(xué)改革應(yīng)該改什么,怎么改,這是高等教育的新課題。誠(chéng)然,應(yīng)用能力強(qiáng)、綜合素質(zhì)高的畢業(yè)生越來(lái)越受到用人單位的歡迎。近幾年來(lái),高校開(kāi)展的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,對(duì)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性思維等方面起到了積極作用,也推動(dòng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的改革。為了培養(yǎng)數(shù)以億計(jì)的高素質(zhì)的人才,以適應(yīng)現(xiàn)代化建設(shè)的需要,今后還需要進(jìn)一步深入廣泛地開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。
一、數(shù)學(xué)建模的發(fā)展進(jìn)程
數(shù)學(xué)建模就是對(duì)具有代表性的實(shí)際問(wèn)題, 通過(guò)搜集、閱讀有關(guān)資料, 利用一切有用的成果, 進(jìn)行分析、分類、歸納、綜合, 并利用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言進(jìn)行抽象和概括, 進(jìn)而將實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題, 建立合適的數(shù)學(xué)模型, 明確變量和參數(shù)的關(guān)系, 最后利用計(jì)算機(jī)手段求得近似解, 并對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋和驗(yàn)證。若通過(guò)則可投入使用, 否則返回, 重新假設(shè), 建立新的數(shù)學(xué)模型。因此數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是一個(gè)多次循環(huán)反復(fù)驗(yàn)證的過(guò)程, 是應(yīng)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程, 是一個(gè)創(chuàng)造性工作和培養(yǎng)創(chuàng)新能力的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽就是這樣的一個(gè)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的競(jìng)賽。1989 年我國(guó)大學(xué)生首次組隊(duì)參加美國(guó)的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(AMCM ) , 1992 年開(kāi)始由中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)(CS IAM ) 舉辦我國(guó)自己的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽(CMCM ) , 到1994 年改由國(guó)家教委高教司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同舉辦, 每年一次。隨著“大眾數(shù)學(xué)”與“問(wèn)題解決”等教育觀念相繼確立, 數(shù)學(xué)被應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模教育實(shí)踐相繼開(kāi)展, 現(xiàn)已成為落實(shí)素質(zhì)教育、數(shù)學(xué)教育改革的熱點(diǎn)之一。1996 年“全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”工作會(huì)議后, 全國(guó)高校掀起了數(shù)學(xué)建模熱, 并受到國(guó)家教育主管部門的高度重視, 參加院校逐年遞增。到目前為止, 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽已經(jīng)成為全國(guó)大學(xué)生的四大競(jìng)賽之一，但在連續(xù)進(jìn)行五屆后有人提出,今后比賽將淡化獲獎(jiǎng)比例,重在參與,推動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)改革。這樣做,更能激起學(xué)生參與這一活動(dòng)的積極性,對(duì)于推動(dòng)學(xué)生素質(zhì)教育,促進(jìn)數(shù)學(xué)教育改革起到良好的激勵(lì)作用。
    二、數(shù)學(xué)建模有利于學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)
1、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)能促進(jìn)理論聯(lián)系實(shí)際,提高學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力
據(jù)有關(guān)研究資料表明,世界上發(fā)達(dá)國(guó)家與發(fā)展中國(guó)家的差距基本上是知識(shí)的差距。面對(duì)知識(shí)經(jīng)濟(jì)將成為21 世紀(jì)主導(dǎo)型經(jīng)濟(jì)的挑戰(zhàn),我們應(yīng)該充分發(fā)揮大學(xué)是經(jīng)濟(jì)建設(shè)的發(fā)動(dòng)機(jī)作用,努力培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)獲取和應(yīng)用知識(shí)信息的能力、獨(dú)立思維能力和創(chuàng)造能力。但在傳統(tǒng)的教學(xué)中,對(duì)數(shù)學(xué)系的學(xué)生只注重?cái)?shù)學(xué)嚴(yán)格的定理證明和抽象的邏輯思維;對(duì)工科學(xué)生,則只要求學(xué)會(huì)套現(xiàn)成的公式和會(huì)做計(jì)算;對(duì)社會(huì)學(xué)科的學(xué)生,幾乎不要求學(xué)數(shù)學(xué)。學(xué)生在校基本上不接觸實(shí)際問(wèn)題。長(zhǎng)此以往,造成學(xué)生畢業(yè)以后,學(xué)數(shù)學(xué)的不愿、不能甚至不敢碰實(shí)際問(wèn)題,即學(xué)數(shù)學(xué)的不會(huì)用數(shù)學(xué),學(xué)工程的不會(huì)或意識(shí)不到用數(shù)學(xué)工具去解決他們各自領(lǐng)域的問(wèn)題,而學(xué)社會(huì)科學(xué)的更覺(jué)得與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān),遇到實(shí)際問(wèn)題想不到用數(shù)學(xué)。比如,某工廠引進(jìn)一種設(shè)備中,有一種(對(duì)我國(guó)) 新型的齒輪,這里要用到一些幾何中關(guān)于曲面較深的知識(shí)。我們技術(shù)人員想仿制這種齒輪,不是查閱和學(xué)習(xí)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí),而是采用量測(cè)實(shí)物,然后根據(jù)實(shí)際測(cè)得的數(shù)據(jù)制圖再制造,結(jié)果與實(shí)物誤差太大,制造出的齒輪不符合要求。在高校中開(kāi)展建模活動(dòng),最起碼,讓數(shù)學(xué)系的學(xué)生在大學(xué)里接觸一些實(shí)際問(wèn)題,樹(shù)立理論聯(lián)系實(shí)際的思想和初步分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。讓工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理等學(xué)科的學(xué)生切實(shí)體會(huì)到數(shù)學(xué)是有用的,培養(yǎng)他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)與工作中,主動(dòng)用數(shù)學(xué)工具解決專業(yè)實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。
2、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)提供了一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的場(chǎng)所
1997 年獲諾貝爾物理獎(jiǎng)的朱棣文教授認(rèn)為中國(guó)學(xué)校過(guò)多強(qiáng)調(diào)學(xué)生書本知識(shí)和書面應(yīng)試能力,而對(duì)激勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)新精神則顯得不足。他認(rèn)為,創(chuàng)新精神是最重要的。在全國(guó)高校教學(xué)改革大討論中,清華學(xué)子提出“進(jìn)來(lái)時(shí),我們五顏六色,出了校門就成了‘清一色’,我們的個(gè)性在哪里?”的問(wèn)題,并指出,大學(xué)教育中傳授知識(shí)僅僅是一個(gè)次要方面,而教會(huì)學(xué)生自我學(xué)習(xí)、思考、研究才是大學(xué)教育的根本。數(shù)學(xué)建模所得結(jié)果只是最優(yōu)解答,并非標(biāo)準(zhǔn)答案,所以在建模過(guò)程中就有較大的靈活性供解答者發(fā)揮創(chuàng)造。這樣,數(shù)學(xué)建模本身就給學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)自我學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考、認(rèn)真探討的實(shí)踐全過(guò)程,提供了一個(gè)發(fā)揮創(chuàng)造才能的條件和氛圍。特別是數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽只有短短三天,是一場(chǎng)真刀真槍的科研實(shí)戰(zhàn)。既需要課堂上學(xué)到的知識(shí)和能力,更需要應(yīng)變能力、獨(dú)立查找文獻(xiàn)與獨(dú)立工作的能力。所以通過(guò)這些實(shí)際活動(dòng),可以培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勇于探索問(wèn)題的勇氣與敢為人先的精神。
3、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)能培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)
隨著科學(xué)技術(shù)經(jīng)濟(jì)化、大眾化、綜合化發(fā)展的進(jìn)程,各個(gè)領(lǐng)域出現(xiàn)的許多實(shí)際問(wèn)題已不是單方面人才所能解決的,需要多學(xué)科的科技人員共同合作完成,這已成為當(dāng)今社會(huì)的一個(gè)特點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽規(guī)定三個(gè)人一隊(duì),在參賽中,三個(gè)人可以討論,使用各種圖書資料、計(jì)算機(jī)軟件,三天內(nèi)完成選題中的一篇論文。如果按照這個(gè)規(guī)則開(kāi)展活動(dòng),可以激發(fā)學(xué)生共同探討問(wèn)題、尋求最佳方案的集體智慧,激勵(lì)學(xué)生互相學(xué)習(xí),積極合作、集體攻關(guān)的協(xié)作精神。
4、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)有利于提高專業(yè)水平
數(shù)學(xué)模型是在某些假定下對(duì)現(xiàn)象做出的數(shù)學(xué)描述,所以要求必須熟悉數(shù)學(xué)公式本身,而要想使用數(shù)學(xué)去理解現(xiàn)象、描述現(xiàn)象,必須能充分理解和分析支配該現(xiàn)象的最基本內(nèi)容,還要有正確描述它的能力。這就要求學(xué)生除具備應(yīng)有的數(shù)學(xué)知識(shí)外,還須具備理解能力、表達(dá)能力、計(jì)算機(jī)運(yùn)用能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力以及其他相關(guān)知識(shí)。由此可見(jiàn),通過(guò)建模過(guò)程的學(xué)習(xí),一則可加深理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí),并能利用知識(shí),自己動(dòng)手構(gòu)造模型,以提高數(shù)學(xué)課中解題、證題的技巧性,如利用幾何的直觀性, 構(gòu)造模型來(lái)證明代數(shù)題, 利用物理意義構(gòu)造模型證明幾何題等。二則通過(guò)查閱資料, 獲取了大量新知識(shí), 拓寬了專業(yè)面, 深刻體會(huì)到知識(shí)不是“教會(huì)”的, 而是“做會(huì)”的,“教”只是一種引導(dǎo),而要“會(huì)”必須去“做”。三則在解模中大量的要借助計(jì)算機(jī)完成, 例如：桌子上有甲、乙兩杯飲料。甲杯子中是白開(kāi)水，乙杯子中是果汁，如何交換甲乙兩個(gè)杯子中的飲料？
如果在現(xiàn)實(shí)生活中，我們可以這樣進(jìn)行實(shí)物交換：拿一個(gè)空杯子丙，作為中間周轉(zhuǎn)飲料的杯子。
第一步，把甲杯子中的白開(kāi)水倒進(jìn)空杯子丙中，此時(shí)，甲杯子是空的；
第二步，把乙杯子中的果汁倒入甲杯子中，此時(shí)，乙杯子是空的；
第三步，把丙杯子中的白開(kāi)水倒入乙杯子中，此時(shí)，丙杯子為空，交換完成。
對(duì)于高一的學(xué)生來(lái)講，引進(jìn)一個(gè)空杯子丙作周轉(zhuǎn)不再是此題的難度。難點(diǎn)是如何表達(dá)讓計(jì)算機(jī)模擬我們交換兩個(gè)杯子中的飲料過(guò)程。這就需要我們把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，化成數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決。我們可以這么做：
假設(shè)： A=甲杯、 B=乙杯、C=丙杯
        1=白開(kāi)水、 2=果汁
那么，A=1表示甲杯子中是白開(kāi)水；同理，B=2 表示乙杯子中是果汁；此時(shí)，只需交換變量A、B的值，就可以解決問(wèn)題了。
這里，A=1 ，B=2 就是我們這道題目的數(shù)學(xué)模型。這樣可增強(qiáng)計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)和使用能力。
5、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)有利于推進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育
在中學(xué),數(shù)學(xué)課占著很大的比例,如何通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育是值得探討的問(wèn)題,筆者認(rèn)為,在大學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)有助于提高中學(xué)教師的科技素養(yǎng),能更好地推動(dòng)中學(xué)素質(zhì)教育。參與過(guò)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的大學(xué)生進(jìn)入中學(xué)后,在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行數(shù)學(xué)建模的啟蒙教育,對(duì)培養(yǎng)中學(xué)生的理解能力、抽象能力、應(yīng)用能力有積極作用。人們?cè)谏a(chǎn)和日常生活中會(huì)不斷遇到與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題, 如現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在著最優(yōu)化問(wèn)題----最佳投資、最小成本等，常常歸結(jié)為函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法解決。現(xiàn)實(shí)世界中廣泛存在著數(shù)量之間的相等或不等關(guān)系，如投資決策、人口控制、資源保護(hù)、生產(chǎn)規(guī)劃、交通運(yùn)輸、水土流失等問(wèn)題中涉及的有關(guān)數(shù)量問(wèn)題，常歸結(jié)為方程或不等式求解。現(xiàn)實(shí)生活中的許多經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，如增長(zhǎng)率、利息（單利、復(fù)利）、分期付款等與時(shí)間相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；生物工程中的細(xì)胞繁殖與分裂等問(wèn)題；人口增長(zhǎng)、生態(tài)平衡、環(huán)境保護(hù)，物理學(xué)上的衰變、裂變等問(wèn)題，常通過(guò)建立相應(yīng)的數(shù)列模型求解。現(xiàn)實(shí)世界中涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問(wèn)題，如航行、建筑、測(cè)量、人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道等，常需建立相應(yīng)的幾何模型，應(yīng)用幾何知識(shí)，轉(zhuǎn)化為用方程或不等式，或三角知識(shí)求解。所以,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,適當(dāng)?shù)嘏e一些這方面數(shù)學(xué)建模的簡(jiǎn)單例子,可以激發(fā)中學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)他們的理解能力,學(xué)會(huì)思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法,為他們今后成才奠定基礎(chǔ)。
    三、存在的問(wèn)題及解決問(wèn)題的建議
(一) 數(shù)學(xué)教育觀念的問(wèn)題
數(shù)學(xué)建模活動(dòng)促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育觀念的改變, 符合素質(zhì)教育的思想。在高等院校, 數(shù)學(xué)教育多傾向于“工具性”的理解, 甚至把高等數(shù)學(xué)看成為專業(yè)課程服務(wù)的工具。這種現(xiàn)象在理工科(師范院校除外) 尤為嚴(yán)重。其實(shí)大學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)就是通過(guò)教學(xué)活動(dòng), 讓學(xué)生學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)的思想、方法和技巧,并能學(xué)以致用, 初步具備自學(xué)所需的更深入的數(shù)學(xué)能力。使得受教育者在數(shù)學(xué)觀念、意識(shí)方面, 思維品質(zhì)、個(gè)性品格方面, 應(yīng)用創(chuàng)新、解決問(wèn)題方面都得到提高, 也就是提高受教育者的數(shù)學(xué)素質(zhì)。但由于現(xiàn)在滯后的教育觀念的束縛, 這個(gè)任務(wù)還遠(yuǎn)未實(shí)現(xiàn)。大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)很多數(shù)學(xué)知識(shí)而不知道如何應(yīng)用它, 使得數(shù)學(xué)教育和實(shí)際應(yīng)用嚴(yán)重脫離學(xué)生很自然地認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種無(wú)用的東西, 這也極大地影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。事實(shí)上“數(shù)學(xué)知識(shí)的二重性——?dú)w納性和演繹性”,“數(shù)學(xué)教育功能的二重性——文化教育功能和技術(shù)教育功能”是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的重要載體。它主要運(yùn)用的是邏輯、思維和推演等理性思維方法。這種理性思維的訓(xùn)練是其他學(xué)科難以代替的。這種理性思維的培養(yǎng)對(duì)提高大學(xué)生全面素質(zhì), 分析能力的加強(qiáng), 創(chuàng)造意識(shí)的啟迪都是至關(guān)重要的。而數(shù)學(xué)建模將數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際有機(jī)地結(jié)合起來(lái), 并充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)的歸納性和演繹性, 加強(qiáng)了學(xué)生的理性思維訓(xùn)練, 提高了學(xué)生駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。
(二) 對(duì)數(shù)學(xué)建模的幾點(diǎn)建議
事實(shí)上,“伴隨電腦與軟件工業(yè)的不斷發(fā)展, 各種‘?dāng)?shù)學(xué)技術(shù)公司’的出現(xiàn), 將形成繁忙的‘?dāng)?shù)學(xué)市場(chǎng)’。”數(shù)學(xué)不僅僅是“工具”, 而且將直接參與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)。因此在不影響正常教學(xué)秩序的條件下, 大力開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是符合時(shí)代要求的。
1、從思想觀念上, 要充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模活動(dòng)有利于促進(jìn)高等數(shù)學(xué)教育改革, 符合國(guó)家教委全面推行素質(zhì)教育的思想。院校領(lǐng)導(dǎo)必須要給予充分重視和大力的支持。要統(tǒng)一全校師生的思想認(rèn)識(shí), 在高校給予數(shù)學(xué)教育一個(gè)正確的位置。要轉(zhuǎn)變對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的認(rèn)識(shí), 不要為了競(jìng)賽而競(jìng)賽。要重過(guò)程, 輕結(jié)果; 要重參與, 輕獎(jiǎng)勵(lì)。
2、從組織形式上, 要不拘一格。在有條件的院校, 可以以學(xué)生班級(jí)為單位, 組織5～ 8 名學(xué)生參加學(xué)校或系部?jī)?nèi)組織的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽, 從而加大學(xué)生參與的份額, 提高數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的“普及”程度, 使更多的學(xué)生有機(jī)會(huì)參與到數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中來(lái)。這有利于形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍, 提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。更有利于學(xué)生把數(shù)學(xué)同知識(shí), 同周圍的實(shí)際情況聯(lián)系起來(lái)。
3、從師資隊(duì)伍建設(shè)上, 要加大投入。要大力培養(yǎng)一批年富力強(qiáng)、經(jīng)驗(yàn)豐富的中青年指導(dǎo)教師隊(duì)伍。建立一套完整的激勵(lì)機(jī)制, 鼓勵(lì)中青年教師積極投入到數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中來(lái)。這正如一位著名的數(shù)學(xué)家指出的那樣,“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的唯一方法就是實(shí)際去做數(shù)學(xué)建模”。此外, 要加強(qiáng)后備力量的培養(yǎng), 加大師范院校數(shù)學(xué)系學(xué)生和理工科院校學(xué)生數(shù)學(xué)模型課程開(kāi)設(shè)的力度, 便于他們?cè)诮窈笥袡C(jī)會(huì)從事教學(xué)活動(dòng)時(shí), 做好知識(shí)上的準(zhǔn)備。

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