集合論的發展

集合論的發展
    無窮作為一個極富迷人魅力的詞匯，長期以來就深深激動著人們的心靈。徹底弄清這一概念的實質成為維護人類智力尊嚴的一種需要。而數學是“研究無限的學科”，因此數學就責無旁貸地擔當起征服無窮的重任。初中畢業升入高一級學校的同學們會一致發現自己所學的第一個數學概念都是：集合。這門研究集合的數學理論在現代數學中被恰當地稱為集合論。它是數學的一個基本分支，在數學中占據著一個極其獨特的地位，其基本概念已滲透到數學的所有領域。如果把現代數學比作一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構成這座大廈的基石，由此可見它在數學中的重要性。
 我將在本文中簡要介紹中無窮思想發展的歷程
　  早在遠古時代，無限的概念就比其它任何概念都激動著人們的感情，而且遠在兩千年以前，人們就已經產生了對數學無窮的萌芽認識。
 在我國，著名的《莊子》一書中有言：“一尺之棰，日取其半，而萬世不竭。”從中就可體現出我國早期對數學無窮的認識水平。而我國第一個創造性地將無窮思想運用到數學中，且運用相當自如的是魏晉時期著名數學家劉徽。他提出用增加圓內接正多邊形的邊數來逼近圓的“割圓術”，并闡述道：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”可見劉徽對數學無窮的認識已相當深刻，正是以“割圓術”為理論基礎，劉徽得出徽率，而其后繼者祖沖之更是得出了圓周率介于3.1415926與3.1415927之間的領先國外上千年的驚人成果。由此，我們可以看到在數學無窮思想發展之初，古人就已在這個領域開創了一個光輝的起點，
    康托在柏林大學的導師是外爾斯托拉斯，庫曼和克羅內克。庫曼教授是數論專家，他以引進理想數并大大推動費馬大定理的研究而舉世聞名是。克羅內克是一位大數學家，當時許多人都以得到他的贊許為榮。外爾斯托拉斯是一位優秀教師也是一位大數學家。他的演講給數學分析奠定了一個精確而穩定的基礎。例如，微積分中著名的觀念就是他首先引進的。正是由于這些人的影響，康托對數論較早產生興趣，并集中精力對高斯所留下的問題作了深入的研究。他的畢業論文就是關于++=0的素數問題的。這是高斯在《算術研究》中提出而未解決的問題。這片論文寫得相當出色，它足以證明作者具有深刻的洞察力和對優秀思想的繼承能力。然而，他的超窮集合論的創立，并沒有受惠于早期對數論的研究。相反，他很快接受了數學家海涅的建議轉向了其他領域。海涅鼓勵康托研究一個十分有趣，也是較困難的問題：任意函數的三角級數的表達式是否唯一？對康托來說這個問題是促使他建立集合論的最直接原因。函數可用三角級數表示，最早是1822年傅立葉提出來的。此后對于間斷點的研究，越來越成為分析領域中引人注目的問題，從19世紀30年代起，不少杰出的數學家從事著對不連續函數的研究，并且都在一定程度上與集合這一概念掛起了鉤。這就為康托最終建立集合論創造了條件。1870年，海涅證明，如果表示一個函數的三角級數在區間[-π,π]中去掉函數間斷點的任意小鄰域后剩下的部分上是一致收斂的，那么級數是唯一的。至于間斷點的函數情況如何，海涅沒有解決。康托開始著手解決這個以如此簡潔的方式表達的唯一性問題。于，他跨出了集合論的第一步。
 康托一下子就表現出比海涅更強的研究能力。他決定盡可能多地取消限制，當然這會使問題本身增加難度。為了給出最有普遍性的解，康托引進了一些新的概念。在其后的三年中，康托先后發表了五篇有關這一題目的文章。1872年當康托將海涅提出的一致收斂的條件減弱為函數具有無窮個間斷點的情況時，他已經將唯一性結果推廣到允許例外值是無窮集的情況。康托1872年的論文是從間斷點問題過度到點集論的極為重要的環節，使無窮點集成為明確的研究對象。
　  亞里士多德只承認潛無限，使其在古希臘數學中占統治地位。文藝復興時期后，實無限在數學中統治了三個世紀。17世紀下半葉，牛頓、萊布尼茲創立的微積分學也是以實無限小為基礎的，在其理論中，無窮小量被看作一個實體,一個對象，正因此，早期微積分又被稱之為“無窮小分析”。這種以實無限思想為據的理論在其產生后的一個世紀被廣大數學家所使用，因而使這段時期成為實無限黃金時期。微積分被形容為一支關于“無窮的交響樂”。但由于當時人們對無窮小量概念認識模糊，導致產生了貝克萊悖論及一系列荒謬結果。在高斯時代，實無限已開始被拋棄了，尤其到了十八世紀末至十九世紀約百年時間中，隨著重建微積分基礎工作的完成，無窮小量被拒之于數學大廈之外，無窮小被看作實體的觀念在數學分析中亦被驅除了，而代之以“無窮是一個逼近的目標，可逐步逼近卻永遠達不到”的潛無限觀念。這種思想突出表現中現在標準分析中關于極限的定義中，并由此建立起了具有相當牢固基礎的微積分理論，使得潛無限思想在這段時期深入人心。然而，到本世紀六十年代，A魯濱遜創立的非標準分析，使無窮小量再現光輝，榮歸故里，重新堂而皇之的登進數學的殿堂，而可與柯西的極限分庭抗衡了。尤其，在康托爾的無窮集合論中，體現的也是“無窮集合是一個現實的、完成的“存在著的整體”的實無限思想，這就足以使得實無限思想可與潛無限思想形成“雙峰對峙”“炮馬爭雄”的局面了。那么，無窮到底是實無限，抑或是潛無限呢？    兩種無窮思想在數學上經歷過“江山代有才人出，各領風騷數百年”的此消彼長與往復更迭后，已在現代數學中日趨合流，實際上現在數學中早已是既離不開實無限思想也離不開潛無限思想了。標準分析與非標準分析的使用表明：用兩種不同的無窮思想為據，采取不同的方式卻可以得出完全相同的結果。這殊路同歸的結局，意味著兩種無窮思想可以避開“兩虎相爭，必有一傷”而走向“平分秋色，輝映成趣”了。    當我們上升到哲學高度時，可能會獲得對兩者關系的更清楚認識。   辯證法告訴我們，要從整體，從兩方面看問題。如同我們所熟悉的“金銀盾”的故事那樣，看到金一面的說是金盾，見到銀一面的說是銀盾，而實際上對盾的認識應是“一面是金，一面是銀”，數學家們對無窮的認識亦相仿。看到無窮實在性一方面的說無窮是實無窮，見到無窮潛在性一面說無窮是潛無限，但對無窮的認識只能是“無窮既是實無限，又是潛無限”，無窮本身就是一個矛盾體，它既是一個需無限趨近的過程，又是一個實體，一個可研究的對象。在這一矛盾體中，矛盾的一方是實無限，另一方是潛無限而無窮正是這矛盾雙方的對立統一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潛無限作為矛盾體的一面，是對有窮的直接否定，而實無限作為矛盾體的另一面則是對潛無限的否定，是否定之否定。
    集合論里的中心，難點是無窮集合這個概念本身。從希臘時代以來，無窮集合很自然地引起數學家們和哲學家們的注意。而這種集合的本質以及看來是矛盾的性質，很難象有窮集合那樣來把握它。所以對這種集合的理解沒有任何進展。
 1960年，美國數理邏輯學家A魯濱遜指出：現代數理邏輯的概念和方法為“無限小”、“無限大”作為“數”進入微積分提供了合適的框架，無窮小量堂而皇之地重返數壇，成為邏輯上站得住腳的數學中的一員，被認為是“復活了的無窮小”。這樣微積分創立300年后，第一個嚴格的無窮小理論才發展起來。回顧微積分學發展的歷史，無窮小分析法――極限方法――無窮小分析法，否定之否定，微積分學基礎獲得了進一步發展。
　 亞里士多德只承認潛無限，使其在古希臘數學中占統治地位。文藝復興時期后，實無限在數學中統治了三個世紀。17世紀下半葉，牛頓、萊布尼茲創立的微積分學也是以實無限小為基礎的，在其理論中，無窮小量被看作一個實體,一個對象，正因此，早期微積分又被稱之為“無窮小分析”。這種以實無限思想為據的理論在其產生后的一個世紀被廣大數學家所使用，因而使這段時期成為實無限黃金時期。微積分被形容為一支關于“無窮的交響樂”。但由于當時人們對無窮小量概念認識模糊，導致產生了貝克萊悖論及一系列荒謬結果。在高斯時代，實無限已開始被拋棄了，尤其到了十八世紀末至十九世紀約百年時間中，隨著重建微積分基礎工作的完成，無窮小量被拒之于數學大廈之外，無窮小被看作實體的觀念在數學分析中亦被驅除了，而代之以“無窮是一個逼近的目標，可逐步逼近卻永遠達不到”的潛無限觀念。這種思想突出表現中現在標準分析中關于極限的定義中，并由此建立起了具有相當牢固基礎的微積分理論，使得潛無限思想在這段時期深入人心。然而，到本世紀六十年代，A魯濱遜創立的非標準分析，使無窮小量再現光輝，榮歸故里，重新堂而皇之的登進數學的殿堂，而可與柯西的極限分庭抗衡了。尤其，在康托爾的無窮集合論中，體現的也是“無窮集合是一個現實的、完成的“存在著的整體”的實無限思想，這就足以使得實無限思想可與潛無限思想形成“雙峰對峙”“炮馬爭雄”的局面了。那么，無窮到底是實無限，抑或是潛無限呢？    兩種無窮思想在數學上經歷過“江山代有才人出，各領風騷數百年”的此消彼長與往復更迭后，已在現代數學中日趨合流，實際上現在數學中早已是既離不開實無限思想也離不開潛無限思想了。標準分析與非標準分析的使用表明：用兩種不同的無窮思想為據，采取不同的方式卻可以得出完全相同的結果。這殊路同歸的結局，意味著兩種無窮思想可以避開“兩虎相爭，必有一傷”而走向“平分秋色，輝映成趣”了。 　 當我們上升到哲學高度時，可能會獲得對兩者關系的更清楚認識。　  辯證法告訴我們，要從整體，從兩方面看問題。如同我們所熟悉的“金銀盾”的故事那樣，看到金一面的說是金盾，見到銀一面的說是銀盾，而實際上對盾的認識應是“一面是金，一面是銀”，數學家們對無窮的認識亦相仿。看到無窮實在性一方面的說無窮是實無窮，見到無窮潛在性一面說無窮是潛無限，但對無窮的認識只能是“無窮既是實無限，又是潛無限”，無窮本身就是一個矛盾體，它既是一個需無限趨近的過程，又是一個實體，一個可研究的對象。在這一矛盾體中，矛盾的一方是實無限，另一方是潛無限而無窮正是這矛盾雙方的對立統一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。潛無限作為矛盾體的一面，是對有窮的直接否定，而實無限作為矛盾體的另一面則是對潛無限的否定，是否定之否定。誠如徐利亞教授提出的無窮雙相性理論：實無限、潛無限只是一枚硬幣的兩面罷了。――這倒并非是哲學的玄奧思辯，而是辯證法為我們上的生動一課。