對德布羅意波的研究

對德布羅意波的研究

侯強

（天水師范學院，物信學院，甘肅，天水，741000）

摘要：本文從德布羅意波的基本方程,經過系列推導,討論了自由粒子的波動性，波函數的表達式，原子中電子繞核運動的駐波形式及實驗上的證明.而電子顯微鏡的問世,毫無疑問的說明了德布羅意波的正確性,最后討論了相速度和群速度的表達式,且二者的乘積為光速的平方，這些對于理解量子力學的不確定性和粒子運動的物理實質有一定程度的參考意義.

關鍵詞：德布羅意波；二象性；波函數；相速度；波包；群速度

The Results about De Broglie wave

Hou Qiang

（TianShui Normal University ，Department of Physics, Gansu province, TianShui ，741000）

[Abstract]: De Broglie waves from the basic equations derived through series, discussed the free particle volatility, wave function, the expression of the atom in motion around the nucleus of the electron wave forms and experimental proof. And electron microscope, no doubt that DE Broglie waves, finally discussed the correctness of the phase velocity and the group velocity, and the expression of the product for speed for understanding the square, quantum mechanics and the uncertainty of the particle physics essence of reference to a certain extent.

[Keyword] : De Broglie wave , Wave-particle duality, Wavelet function, Speed, Wavelet packet, The group velocity

0.引言：

原子結構的玻爾理論所遇到的困難，說明探索微觀粒子運動規律的迫切性，為了達到這個目的，1924年德布羅意在光有波粒二象性的啟示下，提出微觀粒子也具有波動性的假說，他認為十九世紀在對光的研究上，重視了光的波動性而忽略了光的微粒性，但在對實體的研究上，則可能發生了相反的情況，即過分重視了實體的粒子性而忽略了實體的波動性，因此，他提出了微觀粒子也具有波動性的假說，德布羅意把粒子和波通過下面的關系聯系起來：

1.德布羅意公式

粒子的能量E和動量P與波的頻率和波長之間的關系，正象光子和光波的關系一樣

 ……………………………………………………………………（1）

式中E和P表現了粒子性，和表現了波動性，這公式稱為德布羅意公式。

2.自由粒子的德布羅意波

自由粒子的能量E和動量P都是常量，所以由上述公式可知，與自由粒子聯系的波，它的頻率和波矢（或波長）都不變，即它是一個單色平面波。

其中

當<< c時,,而 

所以

在宏觀上，如飛行的子彈Kg，速度= m/s，對應的德布羅意波長為： 

 。這個波長太小，目前沒有辦法測量。在微觀上，如電子Kg，速度 m/s，對應的德布羅意波長為：，這個和x射線的波長同數量級。可見微觀粒子的波動性是可見的。

3.波函數

頻率為，波長為，沿r方向運動的平面波可用下面式子表示：

kr，波矢k=2n/，角頻率，n為單位矢量

寫成復數形式

把（1）式代入上式，得到描寫自由粒子的平面波

這種波稱為德布羅意波，上式為描寫德布羅意波的波函數.

4.由德布羅意波導出玻爾理論中角動量量子化條件.

一根兩端固定而定長的弦上形成穩定駐波的條件為:  

若此弦線首尾相連構成一個圓, 則: 

從波粒二象性看, 原子中核外電子繞核運動有相應的波動圖象.當電子在圓周上形成駐波時，滿足上式，

所以： ，即角動量量子化

5. 德布羅意波的實驗證明

物質波應有干涉、衍射等波的特性, 應由實驗來證明

戴維孫-革末電子衍射實驗，即，電子被鎳晶體散射

實驗原理:電子槍AD 之間有加速電壓U，電子束透過D打在鎳晶M上,它在晶面被散射進入探測器B.（即法拉第圓筒），G檢測電子束(電流)的強度.

實驗發現:加速電壓U=54V,散射角=50o時,探測器B中的電流有極值. 

理論解釋：

如圖，，,k=1,2,3,...

可得，k=1,2,3,...

當加速電壓U=54伏，加速電子的能量，電子的德布羅意波長

再由X射線實驗測得鎳單晶的晶格常數，求得滿足相干加強條件的電子出（入）射角度： , k=1,2,3,...

, 和實驗結果一致的。

戴維孫－革末實驗結果表明：（1）散射電子束在某些方向上特別強；這種現象類似于x射線被單晶衍射的情形，從而顯示了電子束的波動特性。（2）在某一角度下改變加速電壓U以實現對電子波長的改變。實驗測出的曲線反映出確實存在著電子的布洛格衍射，從而定量地證實了德布羅意所預言的實物粒子的波動性果真存在。

單晶透射實驗將電子束或中子束射向單晶箔片，得到了如圖所示的衍射斑,這種衍射斑與x射線透過單晶體的勞厄斑結果極為相似。

1927年，G.P.湯姆遜將電子束和中子束射向多晶箔片，在屏上得到圓環形的衍射圖樣, 電子及中子的這種衍射圖樣與x 射線衍射結果非常相似.

 

1961年約恩孫運用銅箔片形成的細微雙縫進行電子干涉實驗，1988年蔡林格等做了中子的雙縫實驗，得到了如下結果, 這個結果與光波的雙縫干涉實驗結果極為相似.

6.應用舉例

光學儀器的分辨本領和所使用的λ射波波長成反比。由于電子波長比可見光波長小數量級，從而可大大提高電子顯微鏡的分辨率。1932年德國的魯斯卡成功制造出第一臺電子顯微鏡，我國已制成80萬倍的電子顯微鏡，分辨率為14.4nm，能分辨大個分子，有著廣泛的應用。

7. 物質波的傳播速度

由波的頻率、波長和波速的關系知： = u ,對物質波： 

 ……………………………………………………(2)

這里速度一般小于c，所以 u > c

由于實物粒子的靜止質量不等于零，且考慮到電子射線的速度也可能很大，故能量和動量之間的關系應該用相對論的關系式，即  …………………（3）

由此得德布羅意波的相速度恒>c  ……………………………（4）

這里u 表示單色平面物質波的相速度. 相速度就是物質波相位傳播的速度。通俗地講，就是波的形狀向前變化的速度。

實際的自由粒子并非嚴格的單色平面波,而是由波長接近的波包組成,波包的移動速度稱為群速度.可證明:物質波波包的群速度恰好等于粒子的運動速度,它不會超過光速.

我們希望每時都能確定粒子的位置,是否可嘗試把波函數取一波包的形式.波包就是這樣一種波,在某一范圍內, 有一定數值,而在這范圍外急劇變為零.考慮這樣一種波,它是由在附近, 和區間的許多單色波組成.即把這一區間的波相加起來,得到

……………………………………………………(5) 

另外,單個波的波相速u=/k=E/P.顯然,是k的函數,由于很小, 可按的冪次展開為此外,A()看作k的緩變函數,可拿到積分號外。令=k-，則

 ………………………(6)

           …………………….…(7)

現在分析振幅C（x,t）依時間變化的情況，當時，C（x,t）有最大值，x偏離該點越遠，C（x,t）值越小。可以看出，這一波集中在一小區間，而在此區間外迅速降為零，這種波就是我們前面說的波包。下圖給出t=0時波包的波形。

從圖中可以看出，波包最大值在x=0處，值為，在，(n=,…)的位置，振幅為C（x ,t）為零，波包寬度可視為波包占據的空間。的點叫做波包的中心，波包中心以速度運動，這一速度即前面說的群速度。在任何固定時刻t，波的振幅只在波包中心鄰近處取較大的值，而在離波包中心較遠處則越來越小。波群速=… (8)

(8)式說明波群速等于粒子的速度，似乎是說波包中心類似處于該點的粒子，如波包永遠保持原型而不隨時間擴散的話，那么完全可用這樣的波包來描寫粒子的運動。

考慮到相對論時，波群速為……………………（9）

此外，波群速不同于各個波的波相速，這就是說，波相速u依k而變，即不同波長的波在真空中傳播的相速不同，不同波長相應有不同的速度，這種現象叫做色散。因此，徳布羅意波不同于電磁波，其在真空中也存在色散現象。這種情況下可以證明，波包將擴散，即隨時間增加，波包將展寬，由此看來，用波包等效于粒子的運動是不可能的。但這仍是揭示微觀世界特性的一條重要線索

（2）式和（8）式可得到，相速度與群速度的乘積恰好是。考慮到相對論情形，由（4）式和（9）式也可得到，相速度與群速度的乘積恰好是的相同結果

8. 德布羅意波的統計解釋

作為粒子具有“整體性”，即不可分性.不是經典粒子,沒有“軌道”概念，這是微觀粒子的粒子性。具有“彌散性”“可疊加性”“干涉”“衍射”“偏振”，具有頻率和波長，不是經典的波 不代表實在的物理量的波動。這是微觀粒子的波動性。前面講過了，用波包等效于粒子的運動是不可能的。在電子衍射實驗中,電子總是作為整體出現的,它出現的概率與空間波的強度成正比.因此玻恩認為: 在某處德布羅意波的強度是與粒子在該處鄰近出現的概率成正比.

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