樣條函數在統計中的應用

樣條函數在統計中的應用

摘 要：樣條函數是函數逼近與數據擬合的重要工具，在統計回歸分析中有著重要的應用價值。
 本文利用了樣條函數和統計回歸等基本理論……

關鍵詞:一元線性回歸；多項式回歸；分段點；分段回歸；最小二乘估計
 

The application of  spline function in statistics

Abstract: The spline function is an important tool for function approximation and data fitting, it plays an important role in the statistical regression analysis.
 This paper has used the elementary theory of spline function and statistical regression, and we also take full use of SPSS, MATLAB and EXCEL…...

Keywords: Linear regression; Polynomial regression; Piecewise knots; Piecewise regression; Spline; Least squares estimation

正文目錄
1.引言   …………………………………………………………………………Ⅰ-4
2. 基本理論  ……………………………………………………………………Ⅰ-5
 2.1一元線性回歸模型  ……………………………………………………Ⅰ-5
 2.2多項式回歸模型   ………………………………………………………………Ⅰ-6
 2.3分段回歸模型      …………………………………………………………Ⅰ-6
 2.4樣條函數       ………………………………………………………………Ⅰ-7
 2.5普通最小二乘估計      ……………………………………………………Ⅰ-8
 2.6判定系數    ………………………………………………………………Ⅰ-11
3.對樣本數據進行擬合  ………………………………………………………Ⅰ-12
 3.1樣本數據的一元線性擬合  ……………………………………………Ⅰ-12
 3.2樣本數據的多項式擬合  ………………………………………………Ⅰ-14
 3.3分區間樣本數據的擬合  ………………………………………………Ⅰ-16
 3.4采用三次樣條對樣本數據的擬合  ……………………………………Ⅰ-19
4.結論    …………………………………………………………………………Ⅰ-21
致謝   ……………………………………………………………………………Ⅰ-22
附錄   ……………………………………………………………………………Ⅰ-23
參考文獻…………………………………………………………………………Ⅰ-36
 
1、引言
 回歸分析是處理變量與的關系的一種統計方法和技術，這里所研究的變量之間的關系是當給定的值，的值不能確定，只能通過一定的概率分布來描述[11]。回歸分析通過對具有相關關系的兩個或兩個以上變量之間的數量變化進行數量測定，配合一定的數學方程（模型），以便對因變量進行估計或預測。顯然，相關分析的主要任務是研究變量間相互關系的表現形式和密切程度，而回歸分析是在相關分析的基礎上，進一步研究現象之間的數量變化規律[6]。
 
2、基本理論 
2.1一元線性回歸模型
 一元線性回歸簡單地說，是涉及一個自變量的回歸分析，主要功能是處理兩個變量（因變量與自變量）之間的線性關系，建立線性數學模型并進行評價預測。
2.2多項式回歸
 多項式回歸模型是一種重要的曲線回歸模型，這種模型通常容易轉化為一般….
2.3分段回歸
 我們對實際問題有時不論用多種曲線擬合或者高次多項式都不能得到令人滿意的效果…                   
2.4樣條函數
 我們發現運用分段回歸在分段節點上，…  
2.5曲線擬合的最小二乘法
 在科學實驗和統計研究中，
                      

3、對樣本數據進行擬合
3.1 SPSS對樣本數據的線性擬合
 首先我們根據樣本數據點用MATLA……
3.2樣本數據的多項式擬合
 首先我們對樣本數據做多項式曲線擬合，這里對多項式系數的計算采用數據的多項式擬合命令：a=polyfit(x,y,m)，其中…….

3.3 分區間樣本數據的二次多項式擬合
 在本節中我們首先討論確定分段結點的方法。注：在本節中我們仍使用前幾節中所用到的33對樣本數據,并且選取上節中最優的多項式曲線(三次多項式曲線)來計算相應分段節點[8]。

 最后我們利用EXCEL軟件來計算相應的判定系數，詳見附錄2[7]。得到該模型的判定系數為0.6704385,說明因變量中的67.04385%可以被自變量解釋。通過在MATLAB上畫出該函數，我們可以更直觀的觀察和比較，具體見圖11。
 我們將三次樣條函數擬合得到的判定系數與一元線性擬合、多項式擬合以及分段二次多項式擬合所得到的判定系數作比較，我們發現樣條函數擬合的判定系數和分段二次多項式擬合的判定系數相近，但是樣條函數擬合出來的曲線是光滑的。而且樣條函數具有較好的數值穩定性、收斂性和靈活性，在擬合隨機曲線時不需要預先規定函數的數學形式，計算也相對簡便，所以我們認為樣條函數對樣本數據的擬合效果是四者中較好的。
 
 圖11

4、結論
 樣條函數已經成為函數逼近和數據擬合的重要工具，它在統計中的應用具有相當大的前景。因此,研究樣條函數在統計中的應用具有非常大的應用價值。
 本文利用了樣條函數和統計回歸等基本理論……。
 致    謝

 通過本次論文的撰寫，我對統計回歸理論方面的知識和樣條函數的某些理論與方法有了較為深入的了解……。

參考文獻
 [1]杜迎春.實用數值分析[M].北京:化學工業出版社,2007:105-159.
[2]馮力.回歸分析方法原理及SPSS實際操作[M].北京:中國金融出版社,2004:20-102.
 [3]黃健元.計算方法[M].南京:河海大學出版社,2004:26-38.
 [4]何曉群,劉文卿.應用回歸分析[M].北京:中國人民大學出版社,2007:1-222.
 [5]姜健飛,胡良劍,唐檢.數值分析及其MATLAB實驗[M].北京:科學出版社,2004:83-104.
 [6]李金昌.統計學[M].北京:中國物價出版社,2001:183-202.
 [7]劉蘭娟等.經濟管理中的計算機應用—Excel數據分析、統計預測和決策模擬[M].北京:清華大學出版社,2006:191-195.
 [8]李慶揚.科學計算方法基礎[M].北京:清華大學出版社,2006:115-117.
 [9]求是科技.實用數據統計分析及SPSS12.0應用[M].北京:人民郵電出版社,2006:143-171.
[10]任玉杰.數值分析及其MATLAB實現(MATLAB 6.X,7.X版)[M].北京:高等教育出版社,2007:481-489.
 [11]王黎明,陳穎,楊楠.應用回歸分析[M].上海:復旦大學出版社,2008:1-135.
 [12]王能超.計算方法——算法設計及其MATLAB實現[M].北京:高等教育出版社,2005:31-36.
 [13]王正東.數學軟件與數學實驗[M].北京:科學出版社,2004:165-182.
 [14]張軍.數值計算[M].北京:清華大學出版社,2008:186-194.
 [15]David G.Kleinbaum,Lawrence L.Kupper,Keith E.Muller,Azhar Nizam. Applied Regression Analysis and Other Multivariable Methods(Third Edition)[M].Peking:China Machine Press,2003:39-108.
 [16]Edward J. Wegman, Ian W. Wright. Splines in Statistics[J]. peking: American Statistical Association,1983:351-365.
 [17] R.H.Wang. Multivariate spline and algebraic geometry[J]. J. Comp. Appl. Math[J]. 2000, 121: 153-163.