DDS的幅度量化雜散分析

【摘要】 在對幅度量化雜散信號的特性進行討論的基礎上，用信號分析法著重對無相位舍位情況下幅度量化雜散信號的頻譜特征及能量進行了分析，并用離散付里葉變換法通過仿真得到了一些關于幅度量化雜散水平的定量結論。
【關鍵詞】     直接數字頻率合成     幅度量化雜散

引言
    直接數字頻率合成（DDS）是一種新型的頻率合成方法，它以極高的頻率分辨率、連續的相位變換方式、極快的頻率轉換速度和極低的相位噪聲而在眾多電子領域得到了越來越廣泛的應用，并被視為頻率合成發展的方向。但DDS的全數字結構也使得它有較大的輸出雜散，這一缺點是限制DDS進一步應用和發展的主要因素，因而雜散分析是當前DDS的研究重點。幅度量化是DDS雜散的一個來源，由于幅度量化雜散信號的幅度通常遠小于由相位舍位和DAC誤差引起的雜散信號幅度，因而一直沒有受到足夠的重視，但幅度量化雜散作為三大雜散之一，對其進行系統分析不但有重大的理論價值，而且對DDS的工程應用有很重要的指導作用，特別是在無相位舍位情況下，其作用就更為重要。

1   幅度量化雜散分析概述
11  DDS的工作原理
    DDS的工作原理框圖如下圖所示:

    它由相位累加器、只讀存儲器ROM、數模轉換器DAC及低通濾波器組成。圖中fc為時鐘頻率，f0為輸出頻率，K為頻率控制字，N為相位累加器的位數，W為相位累加器的輸出位數（用B表示相位累加器尋址時舍去的位數，則有N＝W＋B），L為ROM的輸出位數。頻率控制字K在每一個時鐘周期與相位累加器累加一次，得到的相位值被送到ROM中對其進行查表，ROM將相位值轉換為與之對應的正弦幅度值（或其它波形信號的幅度值），該數字化的幅度值序列經數模轉換和低通濾波后即為所需的輸出頻率f0，f0由fc和K共同決定，滿足關系：
                          
最小頻率分辨率為：
                           Δ
 由工作原理可知，DDS的雜散信號有三個來源：一、相位舍位。為了得到很高的頻率分辨率，相位累加器的位數N通常做得很大，但實際中由于受體積和成本的限制，用來尋址ROM的位數W要小于N，查表時相位累加器的低B位就被舍去，因而會引入相位舍位誤差。二、幅度量化。任意一個幅度值要用無限長的比特流才能精確表示，而實際中ROM查詢表的輸出位數L是個有限值，這就會產生幅度量化誤差。三、DAC的非理想特性。DAC的各種非理想轉換特性會影響DDS輸出頻譜的純度，產生雜散分量。在DDS相位舍位雜散的分析上，國內外提出了雜散信號模型法和波形分析法，并已得出了較為成熟的結論，而關于幅度量化雜散方面的結論目前尚嫌不足，對幅度量化雜散的分析也就顯得很有必要。
 
12  幅度量化雜散信號的特性分析
    首先定義λ＝Gcd（，）=，以及g = ==,可知是一個奇數。于是該DDS就可以等效成一個累加器位數為M = N－r，頻率控制字為奇數，累加器舍去位數為A = B－r的DDS。當不存在相位舍位誤差時（此時K = m·，m為整數，等效后的M小于或等于W），在t = n·Tc時刻，均勻量化條件下幅度量化雜散信號e（n）為：
      e（n）=                （1）
e（n）是一個離散序列，經DAC后轉變為時間連續函數e（t）：
      e（t）= e（n）                                 （2）
式中是寬度為Tc的窗函數，e（t）可以看成是e（n）經過一個脈沖響應為h(t) =的系統后的信號，系統函數為H()  = Tc, 因而要對e（t）進行分析只需分析e（n）就可以了。當存在相位舍位誤差時，在t = n·Tc時刻，由相位舍位和幅度量化共同引起的雜散信號R（n）為：
      R（n）=        （3）
如果對R（n）進行分解，由相位舍位引起的雜散信號P（n）為：
      P（n）=                 （4）
由幅度量化引起的雜散信號e（n）為：
   e（n）＝（5）
    可以看出，R（n）= P（n） + e（n）
    綜上，幅度量化雜散信號在不同情況下可歸結為e（n）和e（n）兩種類型，它們都在區間（-，）上取值，通常遠小于P（n）的值。由（1）式和（5）式可以看出，e（n）和e（n）是兩種特性不同的雜散信號。e（n）的特點是周期長，能量在頻域上分散，例如當K為奇數時，e（n）的周期V =  = ,（N的典型值為32，48）這時e（n）的頻譜在區間[0，fc)上有V = 根譜線，表現為背景雜散。要想精確求出每根譜線的頻譜系數需對e（n）作V點的離散付里葉變換，由于V值很大，而每根譜線的頻譜系數值又很小，這是不現實的，對e（n）雜散水平的分析通常是將e（n）值看成隨機量，用統計方法求出雜散總能量，用這種方法得到的總信雜比為：
                SNR dB  =  6.02L + 1.75  dB
 同e（n）相比，e（n）的周期要小得多，因K = m·，e（n）的周期U =   = （目前DDS芯片中W值的范圍為8至15），可見，e（n）的頻譜在區間[0，fc)上至多有根譜線，雜散能量較集中，可以通過對e（n）作U點的離散付里葉變換精確求出每根譜線的頻譜系數，下面就對它進行分析。
 
2  無相位舍位情況下幅度量化雜散信號e(n)的分析
2.1  關于e(n)頻譜及能量的幾個結論
    我們首先根據數字信號分析理論，通過分析e（n）的波形特征得到幾個關于其頻譜及能量的幾個結論。
    結論一：e（n）的頻譜中只含奇次諧波。
    先說明一下，由于ROM只輸出正值，所以DDS結構中ROM和DAC之間有一個符號求補器，當兩個正弦相位采樣點的相位值相差的奇數倍時，由（1）式可知，對應兩個采樣點時刻的e（n）值互為相反數。我們知道，DDS輸出信號f0的周期T0 = Tc·=Tc·，e（t）的周期為Tc·U = Tc·，則每個e（t）周期中包含的輸出正弦信號周期的個數為：
                 （）＝
    由前面知道，是奇數，這樣，個正弦信號周期中包含U個采樣點（U是偶數），在每個e（t）周期中前/ 2個正弦周期和后/ 2個正弦周期內各有U / 2個采樣點，且前/ 2個正弦周期內第n個（nU / 2）采樣點的相位值和后/ 2個正弦周期內第n個采樣點的相位值相差·，故對應兩個采樣點的e（n）值互為相反數，即e（n） =－e（n + U / 2），可見，e（n）前后兩個半周期的對應值互為相反數，e（n）是一個奇諧序列，因奇諧序列只含奇次諧波，故e（n）的頻譜中只含f0 /，3f0 /，5f0 /……（－2）f0 /，f0 /，（+2）f0 /……等奇次諧波分量，f0 /是基頻。離主頻f0最近的兩頻點是（－2）f0 /和（+2）f0 /，它們離主頻點的距離為2f0 /。從以上分析也可看出，當DDS產生的是前后半周期反對稱的非正弦波形時，幅度量化雜散信號的頻譜中也只含奇次諧波。                               
    結論二：當M值確定時，e（n）的雜散總能量是確定的，與X所取的具體值無關；在M值變化的情況下，e（n）的雜散總能量只有W種可能值。
    因X為奇數，e（n）周期U =，由DDS工作原理可知，任何一個采樣點的值只能是的整數倍，而在(0，2]區間內只有，2·，3·……·等個值是是的整數倍，因而一個e（n）周期中個采樣點的相位值只能在這個值中取，且每個值只能被取一次，只是當K值不同時，取值的順序有所不同；相應地，e（n）在一個周期內的個取值也是確定的，X只決定取值順序，e（n）的個確定值在一個周期內排列順序的不同并不影響其總能量，它是隨M值的確定而確定的。由前面分析可知，在K = m·的情況下，等效后的M小于或等于W，M只有W種可能值，故在M值變化的情況下e（n）的總能量也只有W種可能值。
    結論三：當等效后的累加器初始相位值 P是整數時，e（n）各次諧波譜線的頻譜系數模值同 P的具體值無關。
    在上面的等效中，我們假設了頻率控制字為K時累加器的初始相位值P = 0，若P不為0，則等效后的初始相位值P = P /，這時P可能是小數。當P是整數時，它的取值區間是[0，)，由結論二中分析可知，這時一個e（n）周期中個采樣點的相位值仍只能是的整數倍，在M和X都確定的情況下，e（n）在一個周期內的個取值以及值的排列順序都是確定的，只是當P值不同時，e（n）序列的起始值是不同的，這種起始值的不同相當于信號在時域上的平移，根據時頻對應關系，時域平移不影響頻譜系數的模值。當P是小數時，這個結論不再成立。
2.2  e(n)的離散付里葉變換法分析
    由于e（n）的周期U相對較小，對它作U點的離散付里葉變換來精確分析其頻譜是能夠做到的。我們通過快速付里葉變換程序對e（n）的雜散水平和規律進行了仿真，仿真結果同2.1中所論證的三個結論是一致的，這里不再一一列舉，下面是通過分析仿真結果得到的另外幾個結論。
    結論四：e（n）的能量在頻域上呈集中分布，當U值較小時（U，L = 12）,雜散能量最大的頻點集中在輸出頻率f0的最小的幾個奇次諧波點處，即3f0，5f0，7f0……處；當U的值較大時（左右），能量最大的頻點密集分布在f0的最小的幾個奇次諧波點的周圍。兩種情況下雜散能量的集中程度不隨X值的變化而變化，而是由U和L決定的，當L不變時，能量最大雜散點處的雜散能量隨U的增大呈減小的趨勢。下面通過仿真結果來說明。
    圖1是L = 10,U = ,X = 3277時e（n）的仿真功率譜圖，此時f0 = fc / 10。圖2是L = 10,U = ,X = 2731時的仿真功率譜圖，此時f0 = fc / 12。可以看出，雜散能量最大的頻點集中在f0，3f0，5f0……的周圍，當X變化時，這種規律不改變。
    為了更好說明這個結論，下面給出一組程序仿真結果，表中值為能量最大的雜散點所對應的信雜比（dB）。
L  U=215  U=212  U=211  U=210  U=29  U=28  U=27
10  85．03 82．56 80．33 74．76 74．70 73．57 72．63
12  99．52 94．01 92．33 87．74 85．19 83．74 82．18
    結論五：e（n）的雜散總能量基本上同U值無關，主要由L的值決定，L每減小兩位，總信雜比約降低12 dB。
    下面是一組程序仿真結果，表中值為總信雜比（dB）。
L     U=210     U=29     U=28    U=27
  8    49.59    49.78     50.11     49.81
  10    61.99    61.76     61.95     61.59
  12    74.00    73.87     73.95     74.15

參考文獻：
[1]  張玉興，彭清泉. 直接數字頻率合成器的頻譜分析.DDS技術與應用研討會論文集(合肥)，1997.
[2]  羅倫.直接式數字頻率合成器DDS的頻譜分析及性能改善.國防科技大學研究生院， 1998.