對(duì)兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘引入實(shí)際情景的思考

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要弄清“負(fù)負(fù)得正”深層次的原因，它的實(shí)際背景則是一個(gè)不能回避的問(wèn)題。張奠宙教授曾在他所編寫(xiě)的《中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》的《數(shù)學(xué)雙基教學(xué)和探究點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)》一文中發(fā)出這樣的感慨：世界上還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一個(gè)為大家普遍接受的“負(fù)負(fù)得正”實(shí)際情景。可以說(shuō)“負(fù)負(fù)得正”至今仍是一個(gè)困惑初中數(shù)學(xué)界的疑難問(wèn)題。
從另一方面看，課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）又非常重視過(guò)程與方法，因此，新教材的編寫(xiě)者非常關(guān)注“兩個(gè)負(fù)數(shù)的積是正數(shù)”這一規(guī)律的產(chǎn)生和形成過(guò)程，并盡可能使學(xué)生感受到“負(fù)負(fù)得正”的合理性。
筆者目前所使用的浙江版教材，它正是試圖通過(guò)實(shí)際例子的方式得出“負(fù)負(fù)得正”的結(jié)論的。請(qǐng)看教材（七年級(jí)上冊(cè)36頁(yè)——37頁(yè)）關(guān)于兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘時(shí)的內(nèi)容設(shè)計(jì)：
下面我們來(lái)探討兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的結(jié)果，先看一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：
  某一天，從上午6：00開(kāi)始，一實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的溫度控制在每時(shí)降低2℃，到12：00實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的溫度降為0℃．問(wèn)上午9：00該實(shí)驗(yàn)室的溫度為多少攝氏度？
如果記溫度上升為正，12：00的時(shí)間為零，12：00以后的時(shí)間為正，那么每時(shí)溫度降低2℃可記為-2℃/時(shí)，12：00以前的時(shí)間，如9：00記為-3時(shí)．這個(gè)時(shí)刻實(shí)驗(yàn)室的溫度用乘法可表示為（-2）×（-3）．
……，9：00該實(shí)驗(yàn)室的溫度為6℃，所以（-2）×（-3）=6．
有很多教師按照教材的這個(gè)方案進(jìn)行了講解，他們所收到的教學(xué)效果不甚理想。比較集中的評(píng)價(jià)有：教材所設(shè)計(jì)的問(wèn)題學(xué)生不容易理解，很多學(xué)生被搞得稀里糊涂，而且花不少的時(shí)間。部分教師也正是出于這樣的考慮，他們?cè)谥v兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘時(shí)避開(kāi)了實(shí)際例子（實(shí)際上很多版本的教材在編排時(shí)也采用了這樣的策略）。
我在講解有理數(shù)乘法之前，早已聽(tīng)說(shuō)了教師們的這種議論。因此也對(duì)教材進(jìn)行了研讀，筆者以為：教材關(guān)于兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘的實(shí)際例子，本身并不存在什么錯(cuò)誤，主要是表述時(shí)尚不夠具體、清晰，從而引起了很多教師的費(fèi)解。本人在講授有理數(shù)乘法時(shí)，對(duì)于各種情形的有理數(shù)乘法（不光光是負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘），它們的運(yùn)算法則都是根據(jù)實(shí)際例子而得。上課時(shí)用的方案主體部分如下：
為了探討兩個(gè)有理數(shù)相乘的結(jié)果，我們先看幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題：
（1）實(shí)驗(yàn)箱內(nèi)的溫度每小時(shí)上升2℃，則3小時(shí)后實(shí)驗(yàn)箱的溫度比現(xiàn)在         ℃；（2）實(shí)驗(yàn)箱內(nèi)的溫度每小時(shí)降低2℃，則3小時(shí)后實(shí)驗(yàn)箱的溫度比現(xiàn)在         ℃；（3）實(shí)驗(yàn)室箱的溫度每小時(shí)上升2℃，則3小時(shí)前實(shí)驗(yàn)箱的溫度比現(xiàn)在         ℃；（4）實(shí)驗(yàn)箱內(nèi)的溫度每小時(shí)降低2℃，則3小時(shí)前實(shí)驗(yàn)箱的溫度比現(xiàn)在         ℃。
若記溫度逐漸上升為正，保持不變?yōu)榱悖饾u下降為負(fù)；記以后的時(shí)間為正，現(xiàn)在時(shí)刻為零，以前的時(shí)間為負(fù)；記溫度比現(xiàn)在高為正，與現(xiàn)在一樣為零，比現(xiàn)在低為負(fù)．則上面四個(gè)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的算式依次為：（1）                    ；（2）                 ；（3）            ；（4）                    ．
實(shí)踐證明，這個(gè)方案的教學(xué)效果相當(dāng)不錯(cuò)。第一，學(xué)生比較容易理解；第二，能使學(xué)生體驗(yàn)到有理數(shù)乘法法則來(lái)自于生活實(shí)踐；第三，這個(gè)方案中的四個(gè)例子分別對(duì)應(yīng)著四種情形的兩個(gè)非零有理數(shù)相乘；第四，學(xué)生有了以上經(jīng)驗(yàn)，教師在講述涉及因數(shù)為零的兩數(shù)相乘時(shí)，他們自己能夠舉出實(shí)際的例子，并給出計(jì)算結(jié)果（更進(jìn)一步地就是運(yùn)算法則）。
筆者覺(jué)得教材編寫(xiě)者想要在兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘中引入實(shí)際情景，應(yīng)該注意以下三點(diǎn)：
第一，要弄清有理數(shù)乘法聯(lián)系實(shí)際的本質(zhì)
在討論有理數(shù)乘法聯(lián)系實(shí)際的本質(zhì)之前，不妨先看看有理數(shù)加法的情況。有理數(shù)加法，如算式（-50）+（+30）=-20，它的實(shí)際情景可以是：服裝店上午售出兩件斷碼外套，一件虧50元，另一件賺30元，兩件合計(jì)虧20元。
有理數(shù)加法與生活實(shí)際比較容易聯(lián)系起來(lái)．這與有理數(shù)加法中“被加數(shù)”，“加數(shù)”，“和”它們所代表的量是同一種單位的量有關(guān)。正是由于它們是同一種單位的量，所以在有理數(shù)加法中，只要確定一個(gè)基準(zhǔn)，并約定相應(yīng)的正、負(fù)即可。象上例中三個(gè)量的單位都是“元”，以不賺不虧為基準(zhǔn)（零），并約定賺為正，虧為負(fù)。
兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘與生活實(shí)際很難聯(lián)系起來(lái)，這顯然與有理數(shù)乘法中“被乘數(shù)”，“乘數(shù)”，“積”它們所代表的量一般是三種不同單位的量有關(guān)。此時(shí)，當(dāng)被乘數(shù)、乘數(shù)、積都有負(fù)的可能時(shí)，若要與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系，則必須確定三個(gè)基準(zhǔn)，并約定三對(duì)相應(yīng)的正、負(fù)。
   兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘與生活實(shí)際很難聯(lián)系起來(lái)的另一個(gè)原因，則是來(lái)自于生活中很多量，它們只在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行取值。現(xiàn)在如果稍退一步，找一個(gè)“異號(hào)相乘”的實(shí)際例子，那么就會(huì)覺(jué)得輕松許多。如算式（+3）×（-10）=-30，它的實(shí)際情景可以是：鞋店下午售出3雙換季皮靴，每雙虧10元，共虧30元。誠(chéng)然皮靴數(shù)只能在非負(fù)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行取值。
第二，要交代清楚有理數(shù)乘法中所涉及的量，尤其是基準(zhǔn)的確定和正、負(fù)的約定
即使熟練地掌握了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，無(wú)論學(xué)生還是教師，他們對(duì)有理數(shù)乘法與實(shí)際聯(lián)系的東西一般都還是知之甚淺。鑒于這種狀況，教材編寫(xiě)者想要達(dá)到使師生理解并接受的目的，很重要的一點(diǎn)就是把兩個(gè)有理數(shù)乘法時(shí)所涉及到的三個(gè)量交代清楚，特別是講清楚三個(gè)量基準(zhǔn)的確定和正、負(fù)的約定．這在一定程度上可以彌補(bǔ)教師和學(xué)生在認(rèn)知基礎(chǔ)上存在的不足。
下面的這個(gè)有理數(shù)乘法聯(lián)系實(shí)際例子是七年級(jí)學(xué)生能夠接受的，現(xiàn)以它為例進(jìn)行剖析。
例1（1）自行車一直在向東行駛，速度4米/秒，則10秒鐘前自行車位于現(xiàn)在位置的西邊40米處；（2）自行車一直在向東行駛，速度4米/秒，則10秒鐘后自行車位于現(xiàn)在位置的東邊40米處；（3）自行車一直在向西行駛，速度4米/秒，則10秒鐘前自行車位于現(xiàn)在位置的東邊40米處；（4）自行車一直在向西行駛，速度4米/秒，則10秒鐘后自行車位于現(xiàn)在位置的西邊40米處。
分析此例涉及三個(gè)量：速度、時(shí)間和路程（嚴(yán)格來(lái)講應(yīng)該是“位移”，“位移”是物理學(xué)術(shù)語(yǔ)），它們分別以“米/秒”、“秒”和“米”做為單位。這些師生都是知道的，因此，關(guān)鍵是講清楚需要確定的三個(gè)基準(zhǔn)，并約定三對(duì)相應(yīng)的正、負(fù)：速度方面以靜止時(shí)為基準(zhǔn)，并約定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)；時(shí)間方面以當(dāng)前時(shí)刻為基準(zhǔn)，并約定以后的時(shí)間為正，以前的時(shí)間為負(fù)；路程方面以現(xiàn)在位置為基準(zhǔn)，并約定現(xiàn)在位置的東邊為正，現(xiàn)在位置的西邊為負(fù)（當(dāng)確定了其中二個(gè)量的基準(zhǔn)，并約定相應(yīng)的正、負(fù)后，第三個(gè)量基準(zhǔn)的確定以及約定相應(yīng)的正、負(fù)，應(yīng)注意與前面的二個(gè)相對(duì)應(yīng)。事實(shí)上三個(gè)量在規(guī)定時(shí)，它們之間必定存在著某種制約關(guān)系）。有了這些規(guī)定，大家很容易得出例1中的四個(gè)例子分別對(duì)應(yīng)以下四個(gè)算式：（1）（+4）×（-10）=-40；（2）（+4）×（+10）=40；（3）（-4）×（-10）=40；（4）（-4）×（+10）=-40。
第三，要盡可能多地找到兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘聯(lián)系實(shí)際的例子，特別是符合七年級(jí)學(xué)生認(rèn)知水平的例子
兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘與實(shí)際聯(lián)系的例子中，要找到符合七年級(jí)學(xué)生認(rèn)知水平的，確實(shí)是一件非常難的事。而且這些例子基本上是與時(shí)間有關(guān)的，所以說(shuō)它們之間是非常相近的。除了前面介紹的兩個(gè)例子，其它的如水位升降；又如倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存的增減；等等。這里舉倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存增減的例子供讀者參考：
例2現(xiàn)在是倉(cāng)庫(kù)關(guān)閉的時(shí)間，最近一個(gè)階段，倉(cāng)庫(kù)的庫(kù)存糧食每天都要（1）增加20噸，則3天后倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存糧食比現(xiàn)在多60噸；（2）減少20噸，則3天后倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存糧食比現(xiàn)在少60噸；（3）增加20噸，則3天前倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存糧食比現(xiàn)在少60噸；（4）減少20噸，則3天前倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存糧食比現(xiàn)在多60噸。
有關(guān)三個(gè)量基準(zhǔn)的確定和正、負(fù)的約定請(qǐng)讀者自行思考。
但是，兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘聯(lián)系實(shí)際的例子并不缺乏。只是有些例子不太適合或根本不適合七年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知水平。筆者在這里也舉一些供讀者參考：
在股票的交易中，若不考慮交易費(fèi)用以及其它的一些細(xì)小因素，則也可以從中找到兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘時(shí)的實(shí)際例子。
例3（1）甲前一陣子買(mǎi)入某種股票5000股，現(xiàn)在這種股票每股上漲3.2元，按目前形勢(shì)來(lái)看，他上次的交易行為可以使自己收益16000元；（2）甲前一陣子賣(mài)出某種股票5000股，現(xiàn)在這種股票每股上漲3.2元，按目前形勢(shì)來(lái)看，他上次的交易行為使自己損失16000元；（3）甲前一陣子買(mǎi)入某種股票5000股，現(xiàn)在這種股票每股下跌3.2元，按目前形勢(shì)來(lái)看，他上次的交易行為使自己損失16000元；（4）甲前一陣子賣(mài)出某種股票5000股，現(xiàn)在這種股票每股下跌3.2元，按目前形勢(shì)來(lái)看，他上次的交易行為可以使自己收益16000元。
說(shuō)明這里以沒(méi)有買(mǎi)賣(mài)為基準(zhǔn)，并約定買(mǎi)入為正，賣(mài)出為負(fù)；以股價(jià)不變?yōu)榛鶞?zhǔn)，并約定股價(jià)上漲為正，股價(jià)下跌為負(fù)；以沒(méi)有損益為基準(zhǔn)，并約定有收益為正，有損失為負(fù)。則例2中的四個(gè)例子分別對(duì)應(yīng)以下四個(gè)算式：（1）（+5000）×（+3.2）=16000；（2）（-5000）×（+3.2）=-16000；（3）（+5000）×（-3.2）=-16000；（4）（-5000）×（-3.2）=16000。
物理與數(shù)學(xué)的聯(lián)系非常密切，物理中蘊(yùn)藏著很多有關(guān)兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘聯(lián)系實(shí)際的例子。
例4（1）物體以5米/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到100牛頓的向左拉力，則拉力對(duì)物體做正功，功率500瓦；（2）物體以5米/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到100牛頓的向右拉力，則拉力對(duì)物體做負(fù)功，功率500瓦；（3）物體以5米/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到100牛頓的向左拉力，則拉力對(duì)物體做負(fù)功，功率500瓦；（4）物體以5米/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到100牛頓的向右拉力，則拉力對(duì)物體做正功，功率500瓦。
有關(guān)三個(gè)量基準(zhǔn)的確定和正、負(fù)的約定這里從略．物理中其它比較簡(jiǎn)單的例子如拉力對(duì)物體的做功問(wèn)題：；又如帶電粒子在電場(chǎng)中的受力問(wèn)題：；等等。

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