一種基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的新算法

摘要：在用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器時(shí)，設(shè)計(jì)的優(yōu)化主要是通過調(diào)整窗函數(shù)來進(jìn)行的。文中提出一種新的優(yōu)化算法，其基本思想是在窗函數(shù)和濾波器階數(shù)不變的情況下，通過迭代運(yùn)算尋找一個(gè)最佳的頻率響應(yīng)函數(shù)，對(duì)此頻率響應(yīng)函數(shù)的傅里葉反變換進(jìn)行加窗所設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率響應(yīng)相對(duì)于理想頻率響應(yīng)的逼近誤差最小。文中對(duì)算法的運(yùn)用和改進(jìn)作了說明，并給出一個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例。
關(guān)鍵詞： FIR數(shù)字濾波器；窗函數(shù)法；優(yōu)化算法；逼近誤差
引言
相對(duì)于IIR數(shù)字濾波器，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點(diǎn)有：一、可具有嚴(yán)格的線性相位特
性；二、不存在穩(wěn)定性問題；三、可利用DFT來實(shí)現(xiàn)。這些優(yōu)點(diǎn)使FIR數(shù)字濾波器得到了廣泛應(yīng)用。窗函數(shù)法是一種設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的基本方法，但它不是最佳設(shè)計(jì)方法，在滿足同樣設(shè)計(jì)指標(biāo)的情況下，用這種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的階數(shù)通常偏大。文中提出的算法是在窗函數(shù)法的基礎(chǔ)上，以所定義的逼近誤差最小為準(zhǔn)則來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的一種算法，由于其中的逼近誤差可根據(jù)不同的設(shè)計(jì)要求進(jìn)行定義，故此算法適應(yīng)性強(qiáng)，它即可用于設(shè)計(jì)選頻型濾波器，又適用于非選頻型濾波器的設(shè)計(jì)。         
設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的基本方法           
    設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的基本方法有窗函數(shù)法、頻率取樣法和等波動(dòng)最佳逼近法，它們主要是針對(duì)選頻型濾波器（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）的設(shè)計(jì)，此種濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)是類似的，典型的指標(biāo)為通帶波動(dòng)和阻帶衰減。在FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，還會(huì)涉及如微分器和希爾伯特變換器之類的系統(tǒng)，這類非選頻型濾波器的設(shè)計(jì)也遵循以上方法，更完善的設(shè)計(jì)則是基于任意頻域指標(biāo)的。
 窗函數(shù)法又稱傅里葉級(jí)數(shù)法，其設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的。設(shè)需設(shè)計(jì)的理想濾波器的頻率響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)分別為和，是的傅里葉反變換，它可表示為:
 
 一般是無限長(zhǎng)且非因果的，設(shè)計(jì)時(shí)需用一個(gè)合適的窗函數(shù)把截成有限長(zhǎng)的因果序列，使對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)（的傅里葉變換）盡可能好地逼近理想頻率響應(yīng)。為實(shí)際所設(shè)計(jì)出的濾波器的單位沖激響應(yīng)，其表達(dá)式為：
   
式中是窗函數(shù)，根據(jù)的特點(diǎn)和設(shè)計(jì)要求確定窗函數(shù)的形狀和濾波器的階數(shù)是這種方法的關(guān)鍵。常用的窗函數(shù)有矩形窗函數(shù)、三角窗函數(shù)、漢寧（Hanning）窗函數(shù)、海明（Hamming）窗函數(shù)、布萊克曼（Blackman）窗函數(shù)、凱塞（Kaiser）窗函數(shù)等。設(shè)的傅里葉變換為，則可表示為：
 
逼近的程度主要決定于的幅度函數(shù)的主瓣寬度以及旁瓣值的波動(dòng)范圍和衰減速率。對(duì)于選頻型濾波器，主瓣寬度決定了過渡帶寬的寬度，旁瓣值的波動(dòng)則會(huì)在通帶和阻帶中引起相應(yīng)的波動(dòng)。
    窗函數(shù)法的主要缺點(diǎn)是：一、不容易設(shè)計(jì)預(yù)先給定截止頻率的濾波器；二、滿足同樣設(shè)計(jì)指標(biāo)的情況下所設(shè)計(jì)出的濾波器的階數(shù)通常偏大。
 頻率取樣法是利用理想濾波器頻率響應(yīng)的有限個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)的一種方法。這種方法的突出優(yōu)點(diǎn)是可以在頻域直接進(jìn)行設(shè)計(jì)，而且在設(shè)計(jì)選頻型濾波器時(shí)可通過優(yōu)化設(shè)計(jì)減小逼近誤差；其缺點(diǎn)在于截止頻率的取值受限，另外，因賴以進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的變量?jī)H限于過渡帶上的少數(shù)自由樣本點(diǎn)，故這種設(shè)計(jì)不是最佳設(shè)計(jì)。
 相對(duì)于前兩種方法，等波動(dòng)最佳逼近法是一種最佳設(shè)計(jì)方法，但這里的最佳僅僅是指在濾波器階數(shù)相同的情況下，用這種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率響應(yīng)相對(duì)于理想濾波器的頻率響應(yīng)的最大誤差最小，對(duì)于其它設(shè)計(jì)指標(biāo)而言，這種方法則不一定是最佳的。
基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的新算法
此算法是一種基于窗函數(shù)法的優(yōu)化算法，其基本思想是在窗函數(shù)和濾波器階數(shù)不變的
情況下，通過迭代運(yùn)算尋找一個(gè)最佳的頻率響應(yīng)函數(shù)，將對(duì)的傅里葉反變換加窗后得到的序列（）作為所設(shè)計(jì)濾波器的單位沖激響應(yīng)，對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)相對(duì)于理想頻率響應(yīng)的逼近誤差最小。
 算法的表述如下：
 第一步：定義逼近誤差,確定窗函數(shù)和濾波器階數(shù)。
 第二步：設(shè)定初值；；；；；；。（和分別表示傅里葉變換和傅里葉反變換運(yùn)算。）
 第三步（從此步進(jìn)入迭代運(yùn)算）：； 。
 第四步：；。
 第五步：；。
 第六步：將看作設(shè)計(jì)結(jié)果，利用和計(jì)算值。
 第七步：若，值增加1，返回到第三步。若，判斷值是否小于上一次迭代所計(jì)算出的值（即利用和計(jì)算出的值），若是，值增加1，返回到第三步，若否，退出迭代，和即為設(shè)計(jì)結(jié)果。
 下面對(duì)算法作幾點(diǎn)說明：
第一步中，可根據(jù)設(shè)計(jì)要求任意定義。對(duì)于選頻型濾波器，一般將其定義為：
 式中為通帶和阻帶的并集，為指定的誤差加權(quán)函數(shù)。設(shè)計(jì)不同的非選頻型濾波器時(shí)，對(duì)的定義往往也不同，有時(shí)將其定義為與之差的模的平均值：        
     二、此算法是一種在窗函數(shù)法的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的算法，窗函數(shù)不同時(shí)，優(yōu)化效果和設(shè)計(jì)結(jié)果都是不同的，因而，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)首先根據(jù)、和設(shè)計(jì)指標(biāo)（逼近誤差）在常用的窗函數(shù)中選擇最佳的窗函數(shù)；若不能確定最佳窗函數(shù)，可首先采用多種窗函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后從中選取最好的設(shè)計(jì)結(jié)果。
    三、在算法的迭代過程中，隨著值的增加對(duì)應(yīng)的值在有些情況下是非遞增的，在有些情況下則是波動(dòng)的，這同以及對(duì)的定義有關(guān)。所以，第七步中當(dāng)值不再減小時(shí)可繼續(xù)進(jìn)行迭代，待迭代次數(shù)足夠大后，選擇其中最小的值所對(duì)應(yīng)的和作為最后設(shè)計(jì)結(jié)果。
    四、第二步中，在保證的對(duì)稱性的前提下（針對(duì)線性相位濾波器的設(shè)計(jì)），可對(duì)的幅度作其它設(shè)定（其相位不能改變），的幅度不同時(shí)設(shè)計(jì)結(jié)果會(huì)有所不同，設(shè)計(jì)時(shí)可通過調(diào)整其幅度進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果。
 五、前面提到的最佳頻率響應(yīng)函數(shù)是由、、和決定的。假設(shè)迭代次后得到設(shè)計(jì)結(jié)果，并記，通常是一個(gè)與不相等但接近的頻率響應(yīng)函數(shù)，接近的程度同第二步中所設(shè)定的有關(guān)。
 六、此算法對(duì)矩形窗函數(shù)是無效的。可以證明，當(dāng)采用矩形窗函數(shù)時(shí)，迭代過程中隨著值的增加的值將保持為零。
算法的應(yīng)用舉例
我們運(yùn)用此算法對(duì)直接數(shù)字式信號(hào)合成系統(tǒng)中DAC幅頻衰減補(bǔ)償濾波器進(jìn)行了設(shè)計(jì)，
此濾波器理想的頻率響應(yīng)為：
 是線性相位的，根據(jù)其幅度函數(shù)的特點(diǎn)，所要設(shè)計(jì)的濾波器的階數(shù)應(yīng)為奇數(shù)。當(dāng)值較小時(shí)，算法的優(yōu)化效果很明顯，設(shè)計(jì)中將值定為11，采用的窗函數(shù)為布萊克曼（Blackman）窗函數(shù)。以下幾幅圖表示出了設(shè)計(jì)結(jié)果。記第次迭代計(jì)算出的值為，圖1中星號(hào)表示按式定義時(shí)的取值點(diǎn)，圓圈號(hào)表示按式定義時(shí)的取值點(diǎn)（這里將式中的取為全頻帶，并指定），可見，兩種定義下隨迭代次數(shù)的增加值的變化規(guī)律是不同的；圖2中實(shí)線為迭代一次的設(shè)計(jì)結(jié)果（相當(dāng)于直接按窗函數(shù)法進(jìn)行設(shè)計(jì)的結(jié)果）的幅度曲線，圖3中實(shí)線為迭代三十次的設(shè)計(jì)結(jié)果的幅度曲線，兩圖中虛線均為的幅度曲線，可以看出，迭代三十次后的優(yōu)化效果是很明顯的。

圖1 對(duì)進(jìn)行兩種不同定義時(shí)的取值情況  圖2  迭代一次所得的幅度曲線

 圖3  迭代三十次所得的幅度曲線
算法的改進(jìn)
在算法的迭代過程中，逼近誤差值的減小是通過減小誤差頻率響應(yīng)（算法第四步中
理想頻率響應(yīng)與實(shí)際設(shè)計(jì)所得到的頻率響應(yīng)之差）來實(shí)現(xiàn)的，因而，每次迭代的直接目的是使第五步中的盡可能好地逼近第四步中的，以減小下一次迭代中的誤差頻率響應(yīng)。但是，算法中的窗函數(shù)一般是在的表達(dá)式和濾波器階數(shù)已確定的情況下，根據(jù)理想頻率響應(yīng)的特點(diǎn)在常用的窗函數(shù)中選擇的最佳窗函數(shù)（在迭代過程中它保持不變），此窗函數(shù)相對(duì)于每次迭代所得出的誤差頻率響應(yīng)則不一定是最佳的。因而，可對(duì)算法進(jìn)行如下改進(jìn)：每次迭代時(shí)根據(jù)誤差頻率響應(yīng)的特點(diǎn)對(duì)第五步中的窗函數(shù)作調(diào)整，使之相對(duì)于誤差頻率響應(yīng)是最佳或接近最佳的。這樣，在迭代過程中窗函數(shù)將是不斷變化的。采用改進(jìn)后的算法能獲得更好的優(yōu)化效果，這里不再舉例。

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