多空間尺度下顧及不確定性的16方向錐形模型研究

摘要：空間尺度發生變化時，空間數據的不確定性隨之變化。本文考慮了由此帶來的空間數據不確定性變化，用質心作為參考點，并在16方向模型中添加了不確定度的參數，來適應尺度變化引起的空間關系的變化，并對其進行形式化描述，以更好的描述空間關系，使得方向關系的劃分上有個平滑的過渡區，在方向概念的表達上更符合人的認知。
 關鍵詞：空間方向關系   不確定性   多尺度   形式化描述

Abstract： When the scale changes, uncertainty of special data is variable accordingly. So considering uncertainty variety of spatial data because of it, this paper introduces centriod as a reference point, and expanded uncertainty parameter changed with variable scales in 16-direction relation cone-shaped model and describes them with formalization. The model partitions the direction relations with smooth transition regions, which accord with percipience on direction concept description.
Key words: cardinal direction relations, uncertainty, multiple spatial-scale, formalization description
 
 復雜性是世界的本質屬性，不是簡單的線性組合和簡單性的表現結果。從簡單性中生成，并與其并存。復雜性的描述限定在某一尺度上，離開尺度探究事物的復雜性，則具有無限深度而無法度量。在地學領域，同樣涉及這個尺度問題。地理尺度是自然界的復雜性和人類認知和方法上滯后性的差距造成的，是本體論與認知論、方法論之間不可逾越的鴻溝的必然產物，也是數據不確定性產生的根源。
 地理信息科學中的比例尺問題迫切需要解決其影響問題。比例尺的誤處理和誤解會左右推斷、解釋，最終影響決策制定過程。比例尺會影響地理現象的理解，從而影響一些應用領域制定決策，包括制圖、環境政策、全球土地覆蓋變化、環境健康。
 不同尺度下，空間數據不確定性使得空間關系的表達更具隨機性、不精確性、不可分辨性和模糊性等，致使空間關系的描述的不確定性程度隨著尺度變化發生著變化。
 空間方向關系是空間關系整體理論不可缺少的重要組成部分，和拓撲關系、距離關系一起能更好的描述地理空間，并進行空間推理[1,6,7]。還經常作為空間查詢的選取條件和影像相似性評估的標準等用途。
 本文對在多尺度下的空間數據參考點進行分析對比，采用比較穩定的質心作為參考點，并對顧及不確定性的16方向關系錐形模型進行形式化描述，以便更好的進行點點方向關系判定，該模型的變量中嵌套著具有多尺度的擴展不確定度的變量，來適應這種多尺度引起的不確定性變化，來更準確的描述空間方向關系。
1. 多尺度下空間數據的不確定性
 1.1. 空間數據的不確定性度量
 絕對的差異和固定的界限是不存在的,客觀世界不斷呈現出事物間的普遍聯系和相互滲透。不同的地物，在多尺度下表現出不同的形態結構、邊界、格局等。
 不確定性是客觀的、必然的，其程度因物而異，也因尺度而不同。多尺度空間數據的不確定性嵌套著由于尺度變化而帶來的不確定性。
 不確定性程度因地物而異。在某些空間尺度下人工建筑物具有歸整的清晰邊界；自然地物如海岸線、地貌地性線等則往往表現出較大的不確定性邊界。不確定性也因尺度而不同。在跨越尺度時，邊界的不確定性會相應的發生變化。在某尺度下，河流、山谷線、城鄉邊界等臨界線較為模糊，而在另一個尺度下又可能呈現出相對的清晰，其不確定程度發生了變化。
 需要做更多的工作進行確定、發展和比較有效的空間/地理統計技術進行評估和描述比例尺影響。研究各類不確定性問題涉及的數學理論有概率和統計理論、模糊數學、信息論、證據理論、粗集理論等。在以往的研究中，對空間數據的精度往往采用誤差理論來研究。誤差反映了測量結果與真值的差異，但真值無法得到，只可能獲知一個最佳估計值，而“真值”是在最佳估計值的一個不確定度范圍內。誤差不具有現實可操作性。1993年ISO公布的文件(測量不確定度表示指南)代表了當前國際上在表示測量結果及其不確定度時的約定做法，其應用必將對推動科技進步和促進國際交流產生重大影響[3]。
 “不確定度”意指不能肯定或有懷疑的程度，是指認識值的分散性，是人們認識不足產生的，建立在現實基礎上，具有可實際操作性，是對誤差理論的認識深化和發展的結果。所以我們把評定測量結果的質量的方法和體系建立在更為清晰、合理和現實的不確定度的概念上，而不是建立在理想的誤差的概念上[3]。
 擴展不確定度是定義測量結果區間的量，即被測量的值以某一可能性(即置信水平)落入該區間中。被測量Y以置信水平為P的可能性落在區間[y-U,y+U]。
 點目標是GIS中線狀目標或多邊形組成的基本要素。過去的研究中，點目標的位置誤差可以用一種“域”來描述，該“域”可以是誤差橢圓，也可以是誤差矩形，即點目標對應的x,y向相關系數為零[2]。
 由于篇幅的限制，本文是在已知數據的擴展不確定度U（或置信區間半寬）展開研究的，空間點對象的不確定性用一個邊長為不確定性矩形來描述。至于不確定度的具體確定方法請參看文獻[3]。
 1.2. 多尺度下空間數據的不確定性
 地物在不同程度上存在著某種自相似性，具有無限復雜、無限細致等，如海岸線、山脈等。地物的長度、大小、面積的量算，是以尺度為依托，離開尺度來研究這些度量值顯得沒有意義。
 由于不同尺度，目標的表現形式并不一樣。在大比例尺圖中的面對象、線對象在小比例尺圖中可能用點對象來表現，當比例尺縮小時，原較大比例尺圖上的點可能被刪除，合并，移位等。
 經多尺度變化后，線面等對象可以用其幾何中心或質心等來作為參考點，作為綜合分析線面數據的一個參考依據。
 幾何中心：                 ，                （1）
 質心：                  ，               （2）
 假設線對象質量均勻分布，則線對象的質心可以寫成：
 ，           （3）
 其中：，，
 假設在1:5 000比例尺上，某線對象的空間坐標數據為表1：
 表1.   1:5 000比例尺下線對象的坐標
 Tab.1  given points coordinate of line on 1:1000 scale
點號 坐標值(m) 點號 坐標值(m) 點號 坐標值(m) 點號 坐標值(m)
P1 (2841.032, 5146.456) P4
 (2861.322, 5200.166) P7 (2925.986, 5248.879) P10
 (2951.876, 5148.895)
P2 (2847.032, 5165.026) P5
 (2884.076, 5213.765) P8 (2977.653, 5225.756) P11
 (29549.126, 5126.904)
P3 (2850.142, 5190.136) P6
 (2912.375, 5258.129) P9 (2959.423, 5175.246) 
 
 自動簡化采用(Douglas and Peucker, 1973)方法，對空間尺度進行變化，可以計算出各尺度下的幾何中心和質心坐標。
 幾何中心和質心以及尺度變化后的幾何中心、質心的坐標差分別為表2：
 
 
 
 
 
 
 
 
 表2.   比例尺變換后線對象的幾何坐標及質心變化
 Tab. 2  changes of geometrical centers, centroids when scales transforming
 1:5 000 1:10 000 1:20 000 1: 25 000 1: 50 000
G幾何中心坐標 (2905.8221,
5190.8507) (2910.1829,
5187.1487) (2903.2340,
5193.5243) (2907.0656,
5189.4762) (2921.2965,
5189.3113)
尺度轉換后幾何中心坐標差  (4.3608,
-3.7020) (-2.5881,
2.6736) (1.2435,
-1.3745) (15.4744,
-1.5395)
質心坐標 (2918.2229,
5203.7107) (2918.4997,
5203.8568) (2919.4648,
5203.8603) (2918.6968,
5204.6926) (2922.4368,
5203.1099)
尺度轉換后質心坐標差  (0.2768,
0.1460) (1.2419,
0.1495) (0.4739,
0.9819) (4.2140,
-0.6008)
    經比例尺變化后，線對象的幾何中心和質心變化如圖2：
 不難看出，當尺度發生變化時，幾何中心很不穩定，會隨著尺度的改變發生很大的變化。相比之下，質心相對比較穩定。這是由于在尺度變化時，組成線面的點變化劇烈，或刪減、或移位等，所以對幾何中心的影響就會很大，而對于質心，則相對較穩。
 在對多尺度數據進行分析時，由于質心相對穩定性，可以作為分析多尺度下空間數據的一個依據。在進行方向關系判斷時，用質心代替幾何中心，作為評估某對象空間數據不確定性的一個綜合指標。這里以對象質心位置在尺度變化前后的變化量與原尺度上質心的擴展不確定度之和作為尺度轉化后的對象擴展不確定度。
 不確定性不能獨立于尺度而單獨存在。所以1.1中所提及的是以尺度為變量的函數值。不同的空間尺度會產生不同精度的空間數據；不同的操作算法會出現數據的不同不確定性。
 空間數據的不確定性就在尺度的變化下發生著變化。即大尺度上的整體不確定性是由小尺度上眾多微小區間不確定性通過某種組合而成的集合。
2. 顧及不確定性的錐形16方向關系描述模型
 空間方向關系是空間源目標（Primary Object）相對于參考目標(Reference Object)的指向關系[5]。方向關系描述模型主要分為基于錐形的方向關系描述模型和基于投影的方向關系描述模型兩大類[4]。
 空間對象之間方向關系的判定所采用的模型不同，會形成不同的方向關系算子集合，目前，方向關系的計算還沒有形成個普遍適用的模式。
 錐形模型(cone model)最早由Haar(1976)年提出，它以參考對象的質心為原點，用兩條相互垂直的線將R2空間劃分為4個無限的錐形區域，每個錐形的角平分線分別是東、南、西、北4個主方向。目標對象落在的錐形區域的主方向就是目標對象與參考對象間的方向關系。本文則在其基礎上，對其進行改進，來適應尺度變化而引起的空間方向關系變化,并用一個簡單的數學模型來進行形式化描述。
 定義  設D16={ JE-NE, JE-SE, JSE-E, JSE-N, JS-ES, JS-SW, JSW-S, JSW-W, JW-SW, JW-NW, JNW-W,JNW-N, JN-NW, JN-NE, JNE-N, JNE-E, JE, JE-JSE, JSE, JS-JSE, JS, JS-JSW, JSW, JW-JSW, JW, JW-JNW, JNW, JN-JNW, JN, JN-JNE, JNE, JE-JNE,O}表示方向關系的符號集合，其中E-L, E-R, SE-L等分別表示東偏左、東偏右、東南偏左等16個方向區域, JE, JE-JSE, JSE等分別表示正東，正東偏正東南,正東南等16個方向臨界值，表示兩兩相鄰方向的不確定性區域，O是表示目標對象的點和參考對象點不確定性重疊，用“同位”方向關系的符號表示其方向。對象A(參照對象)與B(源對象)的方向關系可表示為四元函數，其中∈ D16。
 在傳統GIS空間方向關系研究中，并沒有考慮數據不確定性引起的空間方向變化。本文考慮了多尺度的不確定性，則定義域為:
 , 
 
 
  
 
 
 (由于，，，)
    ，
  
 分別表示對象A，對象B在x，y軸上的不確定性度量值。它可以隨著尺度的變化而變化。和觀測尺度、模擬分析尺度密切相關，當模擬分析尺度越大（或比例尺越小、空間分辨率就越小）則U越大。觀測尺度也同樣影響著U的大小。不同方向的不確定性也就在方向邊界區域得以體現。
 該函數的定義域和值域表述以及相應的空間方向關系為圖3所示：
 
 
 該數學模型可以判定16個方向和各方向的16條臨界線。函數變量與相應的方向如表3：
 表3  16方向錐形模型中函數變量值和相對應的方向
 Tab.3 function variable values and represented directions of developed 16-direction cone-shaped model of cardinal directions
函數變量 所代表的方向 函數變量 所代表的方向
(+,+,+,+) (+,0,+,+) (+,-,+,+) 
東 正東偏東北 (-,-,+,+) (-,0,+,+) (-,+,+,+) 
西 正西偏西南
  正東   正西
  正東偏東南   正西偏西北
(+,-,+,0) 東、東南的臨界值 (-,+,+,0) 西、西北的臨界值
(+,-,+,-) (+,-,0,0) (+,-,-,+) 
東南 正東南偏東 (-,+,+,-) (-,+,0,0) (-,+,-,+) 
西北 正西北偏西
  正東南   正西北
  正東南偏西   正西北偏北
(+,-,-,0) 南、東南的臨界值 (-,+,-,0) 北、西北的臨界值
(+,-,-,-) (0,-,-,-) (-,-,-,-) 
南 正南偏東南 (-,+,-,-) (0,+,-,-) (+,+,-,-) 
北 正北偏西北
  正南   正北
  正南偏西南   正北偏東北
(-,-,-,0) 南、西南的臨界值 (+,+,-,0) 北、東北的臨界值
(-,-,-,+) (-,-,0,0) (-,-,+,-) 
西南 正西南偏南 (+,+,-,+)  (+,+,0,0)  (+,+,+,-) 
東北 正東北偏北
  正西南   正東北
  正西南偏西   正東北偏東
(-,-,+,0) 西、西南的臨界值 (+,+,+, 0) 東、東北的臨界值
(0, 0,0, 0) 同位  

3. 應用舉例
 假設在空間尺度的變化下，空間面對象相對于線對象的空間方向進行16方向的定性描述。則可以應用以上數學模型進行判定。原始數據為1:5 000下的線面數據，經過操作分析尺度變化后，分別可得到1:10 000，1:20 000，1:25 000，1:50 000的數據。
 3.1. 點與點的方向
 方向關系描述模型通常將空間目標的表示限制為一個點,本文對于區域目標和線目標使用目標的質心，而不是采用隨尺度變化而劇烈變化的幾何中心來表示目標。
 則面對象相對于線對象的方向關系用其各自質點間的方向關系來替代，判定如下：
 
 具體計算結果如下表4：
 表4  16方向錐形模型中函數變量值和相對應的方向
 Tab.4  function variable values and represented directions of 16-direction cone-shaped model of cardinal relations
 1:5 000(m) 1:10 000(m) 1:20 000(m) 1:25 000(m) 1:50 000(m)
線對象質心坐標(xa,ya) (3118.2229,
5378.7107) (3118.4997,
5378.8567) (3119.4648,
5378.8603) (3118.6968,
5379.6926) (3122.4368,
5378.1099)
面對象質心坐標(xb,yb) (3274.8583,
5555.2074) (3274.7719,
5555.2173) (3274.6851,
5555.5011) (3273.2690,
5555.9401) (3276.1313,
5556.2208)
兩質心坐標差(,) (156.6354,
176.4967) (156.2722,
176.3606) (155.2203,
176.6408) (154.5722,
176.2474) (153.6944,
178.1108)
 -111.6162 -111.6305 -112.3464 -112.2215 -114.4485
 201.6546 200.9139 198.0941 196.9228 192.9403
 0.05 0.3268 1.2919 0.5239 4.2640
 0.05 0.1364 0.2232 1.6393 1.3230
 0.05 0.1960 0.1995 1.0319    0.6508
 0.05 0.0598 0.3437  0.7827 1.0633
 0.1414 0.4124 1.1847 3.0664 4.4221
 0.2000 0.7190 2.0583 3.9778 7.3011
 0.3414 1.4564 4.1675 6.1780 14.2517
函數值 (+,+,－,+) (+,+,－,+) (+,+,－,+) (+,+,－,+) (+,+,－,+)
方向 東北 東北 東北 東北 東北

 由于不同比例尺對目標描述的細致程度有所不同,在小比例尺圖中可以用一個抽象點表示的目標,在大比例尺空間,則用一個面表示。在不同比例尺之間進行方向對比時，用質心點表示一個空間目標,建立點與點間的方向關系描述模型有一定的意義。
 3.2. 按比例法對線面的方向判定
 將空間目標的表示限制為一個點，用質心表示目標，從一定程度上忽略了目標的大小和形狀對方向關系描述的影響。在大比例尺圖中，應充分考慮目標對象的大小和形狀的影響,更細致、準確地描述方向關系，則對線線、線面、面面等的方向關系的判定，可以采用比例法等。應用以上數據，源對象B相對于參考對象A的方向為：
 表5.   線面對象間的錐形模型方向關系
 Tab.5 cone-shaped model of cardinal relations between lines and areas
面積(m2)及所占比率 1:5 000 1:10 000 1:20 000 1:25 000 1:50 000
正北偏東北 42.4944 32.2487 18.5956 1.4412 0
 0.25% 0.19% 0.11% 0.01% 0
北、東北的臨界不確定性區域 8.7278 38.3336 139.5029 181.1077 550.8213
 0.05% 0.23% 0.83% 1.14% 3.91%
正東北偏北 8699.7580 8648.6273 8681.9504 8081.4250 6757.4885
 51.48% 50.98% 51.47% 50.91% 47.97%
正東北臨界不確定性區域 32.7905 117.9468 338.9728 609.6042 968.7947
 0.19% 0.70% 2.01% 3.84% 6.88%
正東北偏東 8015.2845 8020.1934 7630.3617 6913.8542 5767.7208
 47.43% 47.28% 45.23% 43.55% 40.94%
東、東北的臨界不確定性區域 2.5764 7.8152 12.1203 35.5927 29.4959
 0.02% 0.05% 0.07% 0.22% 0.21%
正東偏東北 96.7474 98.4458 46.9044 51.3223 13.7496
 0.57% 0.58% 0.28% 0.32% 0.10%

 不難發現，方向關系隨著尺度的變化而發生變化。不同比例尺對目標描述的細致程度有所不同,以及在數據分析處理等造成的，這直接影響著方向關系的準確判定。尺度效應就需要用不同尺度下的不確定性對數據進行評估。
 該模型可以結合投影方向模型，尤其當兩對象很接近，源對象一部分包含在最小外接矩形內，這時可以使用該錐形模型來更為準確的描述空間方向關系。
4. 結束語
 在過去的研究中，方向區域劃分都是一種精確的劃分方式。該方式在相鄰的方向區域之間人為設置了一個跳躍。該顧及不確定性的方向區域的描述模型中，使得方向關系的劃分上有個平滑的過渡區，在方向概念的表達上更符合人的認知。
 以往研究位置的不確定性一直采用誤差理論，這有其自身局限性，根據國際標準化組織公布的《測量不確定度表示指南》，本文引入擴展不確定度的概念，具有現實可操作性。
 16方向錐形模型在定性描述方向關系時更為細致，對于空間推理等有著重要的作用。針對多尺度下空間數據的不確定性特點，對16方向錐形模型進行研究。當尺度發生變化時，空間數據的不確定性隨之變化，這種由空間尺度變化帶來的空間數據不確定性變化，對多尺度下的對象空間數據參考點進行分析對比，提出用質心代替幾何中心，來減小參考點的不確定性程度，并在模型中添加了隨尺度變化而變化的擴展不確定度參數，對空間方向關系進行形式化描述，來適應尺度變化引起的空間關系的變化，以更準確的描述空間方向關系。

參考文獻
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