例談數學教學中形成認知沖突的策略

現代認知理論認為，學生學習數學的過程實際上就是數學認知的過程。由于學生數學知識結構和心理結構的欠缺，當學生把教材知識結構化成自己的數學認知結構時，會發生認知沖突。所謂認知沖突是一個人已建立的認知結構與當前的學習情境之間暫時的矛盾和沖突，是已有知識和經驗與新知識之間存在某種差距而導致的心理失衡。在課堂教學中，教師應設置認知沖突，讓課堂煥發出生命活力，喚起學生對學習的內在需求，在學生的腦海中產生認知沖突，促使學生對學習知識產生強烈的興趣，提高學習效率的目的。
 1、創設情境，透發認知沖突
 教師在教學過程中，根據特定的知識內容和教學目標，通過創設問題情境，將學生已有知識經驗與新知識聯系起來。創設的情境要能激發學生的認知沖突，造成學生心理的懸念，喚起學生的求知欲，把學生帶入一種與問題有關的情境中去，進行有效地學習。如在“垂徑定理的推廣及應用”的教學中，先創設如下情境：一位老奶奶不慎把一個圓形的玻璃臺板敲破了，還剩下如圖1所示的一大塊，她很想配一塊與原來同樣大小的玻璃臺板。你能否設法幫她畫出一個與原來臺板一樣大的圓嗎？畫圓的關鍵是如何利用剩下的這塊玻璃找到原臺板的圓心。找圓心的方法與學生原有知識和經驗會產生暫時的的認知沖突，使學生感到原有知識的不完整性，從而對所學的新知識產生濃厚的興趣，為新課的講授做了很好的情感和心理鋪墊，會大大提高課堂的教學效果。
 2、找“結合點”，激發認知沖突
 研究表明：在“新舊知識結合點”上產生的問題，最能激發學生的認知沖突。教師通過分析學生已有的知識結構、經驗和教材內容，發掘“結合點”，有針對地通過創設情境、設計問題，利用新舊知識的差異，使學生處于心欲求而不得，口欲言而不能開的“憤”、“悱”狀態，激起學生的認識沖突。新概念的出現往往是“新舊知識的結合點”。如在“實數”教學中，教師先舉例：若一個正方形的邊長是1cm，則它的對角線是多少？學生很快得出cm的結果。再問：是什么數？當學生將與已學過的有理數范圍內的數的概念進行對比時，會產生認知沖突，也會在心理上產生求知的迫切性。在此基礎上，教師再引入無理數的概念，學生將終身難忘。
 3、激起矛盾，制造認知沖突
 充分利用和挖掘教材中的矛盾因素和學生的思維誤區，以副有挑戰性、探索性且處于學生認知結構的最近發展區的問題素材，把學生置于矛盾氛圍中，使學生產生解決矛盾的迫切的心理需求，從而激起認知沖突。如在“全等三角形判定”的教學中，在學習 “SAS”的判定后，教師組織學生討論：有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等嗎？即“SSA”能否判定兩個三角形全等？雖然同樣有“兩邊一角”，但是由于相對位置的改變，學生在認知中會產生沖突。然后，教師要求學生完成下題（作思維鋪墊）：畫出△ABC，使∠A=30°，AB=3cm, BC=2 cm。問：這樣的三角形能畫幾個，你能得出怎樣的結論？再讓學生按 ∠A是銳角、直角、鈍角的三種情況進行分類討論，學生通過畫圖探索和推理，分析“SSA”的各種全等與否的情況，讓學生始終處于認知沖突之中，不斷提供新的刺激因素。這樣會加深學生對三角形全等判定定理的深刻理解，使學生的思維更加嚴謹和辨證，同時也培養了學生探究能力和分類思想。
 4、設置陷阱，暗設認知沖突
 利用數學知識結構中的模糊點，易錯點或肓點，設置相應的知識陷阱，引誘學生落入其中，再將學生從中“救起”或引導學生進行“自救”。此舉對“糾錯”或“究錯”十分有效。如在“韋達定理”教學中，教師設置下題讓學生解答：已知a、b是方程x2＋6x＋4＝0的兩個根，求a＋b的值。由于多數學生容易疏忽了對a、b符號的討論，誤以為a、b是正數，求得結果為4。教師追問a、b是什么數？如何判斷？讓學生自己反省和糾錯。又如在“等比性質”的教學中，教師讓學生求解：已知，求k的值。學生由于疏忽等比性質中的附加條件，求得k＝2。然后教師組織學生重溫等比性質，分析錯因，探究正確求解的方法及應注意的問題等，引導學生對知識、思想方法和解題過程進行反思和提煉，使學生更加完善地掌握和運用知識。
 5、隱含條件，挖掘認知沖突
 數學題目中，多數已知條件是顯性的，但有些條件是隱含在題目的文字、式子和圖形中，需要學生用敏銳的目光去察覺，用嚴謹的思維去仔細分析，善于抓住知識的要點和結構特征，才能發掘隱含條件。但往往由于學生沒有及時發現隱含條件，導致中途“卡題”或出錯。利用隱含條件是形成學生認知沖突的有效策略，會讓學生產生“山窮水復疑無路”的迷茫，激發學生探究和發現問題的迫切愿望。然后，教師引導學生再次審題，反思解題過程，給學生指點迷津，讓學生找到解題的突破口，使學生產生 “柳暗花明又一村”的暢快。如在“二次根式”的教學中，教師為了讓學生更深入地理解二次根性的性質，可舉下列：化簡－（）2，若學生沒有發現2x－3≥0的隱含條件，那么必錯無疑。教師讓學生用x＝0代入原式嘗試，會出現如何結果？此時，也許會“一語驚醒夢中人”。這樣能優化學生的解題思路，幫助學生掌握嚴謹的思維方式，養成良好的審題習慣，培養學生的洞察力。
 6、變向思維，萌發認知沖突
 數學是思維的體操。在數學課堂教學中，教師應注重對學生思維方式的引導，使學生形成多向、靈活善變的思維，避免學生用一種習慣固定的思維方式去思考問題，尤其是不要輕易地將方法和結論施加給學生，而應鼓勵學生放開思路，從不同的角度思考問題，尋找解決問題的捷徑，有利于提高學生的思維水平。例如“韋達定理”教學中，有如下一個問題：已知關于x的方程x2-2kx+k2+2k+1=0至多有一個負數根，求實數k的取值范圍。如果學生分有唯一個負等根、一個正根一個負根、兩個正根、無實根幾方面討論，那么不僅解題過程煩瑣，而且容易出錯。這時教師引導學生采用逆向思維思考問題，即至多有一個負數根的反面是至少兩個負數根，而一元二次方程至多只能有兩個負數根，利用韋達定理和根的判別式，求出方程有兩個負數根時k的取值范圍是k≤-1/2且k≠-1,排除這種情況，得到方程至多有一個負數根時k的取值范圍是k＞-1/2且k=-1，問題順利得到解決。反證法就是典型的變向思維方式。
    7、變式訓練，強化認知沖突
    變式訓練是培養學生發散性思維的有效方法。在數學習題教學中，不能把思路局限于一個問題中或問題的一種狀態下，應善于將題目中的已知條件、設問角度、求解的目標或圖形的形狀作適當改變，加強變式訓練，強化認知沖突。如在“零指數、負指數”教學中，先讓學生練習：已知（n2-n-1）-2＝1，求n的值。再將題目改變：已知（n2-n-1）n-2＝1，求n的值。前者僅僅考慮n2-n-1＝±1的情況，而后者不僅要考慮底數，而且還要考慮指數，增加了限制因素，思維方面顯得更加復雜，很容易強化認知沖突。通過變式訓練，還能克服學生思維上的惰性和絕對性，培養學生的分析能力和分類討論的思維。
 在幾何教學中，經常利用圖形的動態變換實行變式訓練。通過圖形的動態變換，引發圖形的形狀、數量關系和位置關系的變化，而這種變換往往從簡單到復雜，從特殊到一般的過程。學生在探究過程中所運用的數學思想方法和數學知識都在不斷改變，隨著探究程度的深入，不斷拓展學生思維，從而強化學生的認知沖突，揭發學生的探究問題的興趣和熱情。如在“三角形中位線”一節課教學時，教師先讓學生借助于度量和推平行線的方法猜想得出三角形中位線定理，然后讓學生沿中位線剪開后拼成一個平行四邊形，并合作探究證明方法，學生很容易得到如圖2的平行四邊形和相應的證法。在此基礎上教師讓學生繼續合作探究：能否將上述兩個圖形繼續分割并“拼圖”，得到其它形狀的平行四邊形或矩形嗎？你能得出新的證明方法嗎？學生會得到如圖3、4這兩種較
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                    

特殊的圖形和相應的證法。教師追問：如將△ADE從A點沿任意一條直線剪開（如圖5）行嗎？你還能發現其它方法嗎？學生會發現如圖6的拼法。學生通過經歷上述的操作、探究、嘗試、討論和推理等過程，促進了學生的主動建構。這就要求教師在教學過程，經常讓學生探索各種動態變換的規律，并展開想象的翅膀，作大膽而合理的猜想和推理，力求在培養學生創新意識和探索精神上能獲得新的突破，有效地訓練和發展學生的開放性思維和創新思維。
  8、設計障礙，巧設認知沖突
 數學教學中，通過有意拉大思維的跨度，或提出與常規看法相悖的問題，設計開放性的問題和用常規方法無法解決的問題 ，巧妙地設置思維障礙，讓學生經歷思維上的挫折，引發認知沖突，促使學生把注意力集中到知識的重點和關鍵上，積極探索解決問題的方法。如在函數的應用教學中，設計下題讓學生解答：方程2x－x2＝的正根有幾個？學生首先會采用方程思想求解，但由于去分母后得到方程x3－2 x2＋2＝0，對于初中學生來說無法求解，在思維上形成障礙，學生的心理產生改變解題策略的欲望。這時，教師啟發學生利用函數圖像法求近似解，學生會感受到學習的樂趣。又如在“圓錐的有關計算”的教學中，教師先設計這樣一個問題：如圖7，已知圓錐的母線長為6cm，底面半徑為2cm，AC中點D點有一塊糖，若一只螞蟻從B點出發，繞圓錐側面爬到D點吃糖，問螞蟻爬行的最短路程是多少？在解題過程中，如何在曲面上確定螞蟻的路徑，它的長如何求，學生會感到很困惑。當教師將圓錐側面展開時，學生才會恍然大悟，原來這條曲面上的曲線，就是展開面上的線段BD，這樣學生的思維火花被激活了。
 9、聯系實際，挖掘認識沖突
 數學源于生活又服務于生活，因此在數學教學中，通過對生活問題進行數學建模，挖掘認識沖突，讓學生在實際生活的背景中學習數學知識，在解決問題的過程理解知識，培養學生運用數學知識的意識和能力，感受數學知識的應用價值，提高學習數學的熱情。如在一次函數的應用教學中，讓學生討論下題：一巡邏艇和一貨輪同時從A港口前往相距100千米的B港口，巡邏艇和貨輪的速度分別為100千米/時和20千米/時，巡邏艇不停的往返于A、B兩港口巡邏（忽略巡邏艇調頭的時間），問出發多長時間兩船第三次相遇？在何處相遇？如果運用算術或方程的方法解題，則很難求出結果；如果運用函數思想解題，那么如何把實際問題轉化為數學問題，進行數學建模，這必將引發學生認知上的沖突。教師引導學生探索設計函數的方法，畫出函數圖像，并利用“數形結合”的思想，很容易求出結果。這樣能使學生真正感受到數學知識的奧妙，以及探究問題的新奇、興奮與獲得成功后的愉悅。
 10、及時評價，引發認知沖突
 評價是教學過程中不可缺少的環節，是教師及時了解教學效果，調控教學行為的重要手段。在數學教學過程中，通過對知識價值的評價、解題錯因的分析、一題多解的評析和實踐操作方案的優化等均可引起學習的認知沖突。如在學生學習了七年級上冊三種統計圖知識后，教師追問：你覺這三種統計圖各有什么特點？分別在什么情景下用各種不同統計圖？學生通過分析、思辨、評價等過程，引發認知沖突，從而促進了學生對知識的主動建構。培養學生的分析和思辨能力，使學生更加全面深刻地理解和掌握知識，提高教育價值。
 此外，教師在教學過程中，要創設平等、和諧、民主的學習環境，善于激發學生的學習生機，端正學生的學習態度，根據學生的知識結構、智力水平和教學內容，采用不同的教學策略，激發學生的認知沖突，培養學生自主學習的主動性和創造性，提高教學效率。

 參考文獻：
陣米華 .《探究性學習需要預習嗎》 , 中國數學教育雜志 , 2007年10月
 2、全日制義務教育《數學課程標準》（實驗稿），XX師范大學出版社2001年版。